Question

点E是正方形ABCD外一点，点F在DE上，且AF=AE=

2

，∠EAF=90°，FB=3．
（1）求证：△AFD≌△AEB；
（2）求∠DEB的度数；
（3）求正方形ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的性质可得AB=AD，∠DAB=90°，再根据同角的余角相等求出∠EAB=∠DAF，然后利用“边角边”证明即可；
（2）先根据等腰直角三角形的性质求出∠AFE=∠AEF=45°，然后求出∠DFA=135°，再根据全等三角形对应角相等可得∠AEB=∠DFA=135°，然后列式计算即可求出∠DEB=90°；
（3）利用勾股定理列式求出EF、BE的长，再根据全等三角形对应边相等求出DF，连接BD，在Rt△BDE中，设正方形的边长为x，利用勾股定理列式求出x的平方，即可得解．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠DAB=90°，
又∵∠EAF=90°，
∴∠EAB=∠DAF，
在△AFD与△AEB中，
∵

AB=AD ∠EAB=∠DAF AF=AE

，
∴△AFD≌△AEB（SAS）；

（2）解：∵AF=AE=

2

，∠EAF=90°，
∴∠AFE=∠AEF=45°，
∵∠AFE+∠DFA=180°，
∴∠DFA=135°，
∵△AFD≌△AEB，
∴∠AEB=∠DFA=135°，
∴∠DEB=∠AEB-∠AEF=135°-45°=90°；

（3）在Rt△AEF中，EF=

AE2+AF2

=

2+2

=2，
在Rt△BEF中，BE=

BF2-EF2

=

9-4

=

5

，
∵△AFD≌△AEB，
∴DF=BE=

5

，
连接BD，设正方形ABCD的边长为x，则在Rt△ABD中，BD=

2

x，
在Rt△BED中，BE²+DE²=BD²，
即（

5

）²+（2+

5

）²=（

2

x）²，
∴x²=7+2

5

，
∴正方形ABCD的面积为（7+2

5

）．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理的应用，根据度数相等求出∠DEB=90°是解题的关键．