题目内容

如图，一次函数y=x+1的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B．二次函数的图象与y轴的正半轴相交于点C，与这个一次函数的图象相交于点A、D，且sin∠ACB= $数学公式$ ．
（1）求点C的坐标；
（2）如果∠CDB=∠ACB，求这个二次函数的解析式．

解：（1）对于y=x+1，令y=0，则x=-1；x=0，则y=1，

∴A点坐标为（-1，0），OA=1；B点坐标为（0，1），OB=1，
∴AB= $\text{[math]}$ ，
在Rt△AOC中，∵sin∠ACB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，OA=1，
∴AC= $\text{[math]}$ ，
∴OC= $\text{[math]}$ ，
∴点C的坐标为（0，3）；
（2）当点D在AB延长线上时，如图1，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，
∵∠CDB=∠ACB，∠BAC=∠CAD，
∴△ABC∽△ACD，
∴AD：AC=AC：AB，即AD： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，

∴AD=5 $\text{[math]}$ ，
∵DE∥BO，
∴△ADE为等腰直角三角形，
∴DE=AE= $\text{[math]}$ AD= $\text{[math]}$ ×5 $\text{[math]}$ =5，
∴OE=4，
∴点D的坐标为（4，5），
设二次函数的解析式为y=ax²+bx+3，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴解得 $\text{[math]}$ ，
∴二次函数解析式为y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+3；
当点D在射线BA上，如图2，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，
∵∠CDB=∠ACB，∠CBA=∠DBC，
∴△BAC∽△BCD，
∴BC：BD=BA：BC，即2：BD= $\text{[math]}$ ：2，
∴BD=2 $\text{[math]}$ ，
∴AD=DB-AB=2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵△ADE为等腰直角三角形，
∴DE=AE= $\text{[math]}$ AD= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =1
∴OE=OA+AE=2，
∴点D的坐标为（-2，-1），
设二次函数的解析式为y=ax²+bx+3，
把D（-2，-1），A（-1，0）代入得 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，
∴二次函数解析式为y=x²+4x+3．
分析：（1）先求出A点坐标为（-1，0），B点坐标为（0，1），则OA=1，OB=1，AB= $\text{[math]}$ ，再根据正弦的定义得sin∠ACB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，而AO=1，则AC= $\text{[math]}$ ，然后根据勾股定理可计算出OC=3，从而确定点C的坐标为（0，3）；
（2）分类讨论：当点D在AB延长线上时，如图1，过点D作DE⊥x 轴，垂足为E，由于∠CDB=∠ACB，∠BAC=∠CAD，根据相似的判定得△ABC∽△ACD，则AD：AC=AC：AB，即AD： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，
可计算出AD=5 $\text{[math]}$ ，易得ADE为等腰直角三角形，则DE=AE= $\text{[math]}$ AD= $\text{[math]}$ ×5 $\text{[math]}$ =5，OE=4，得到点D的坐标为（4，5），然后设一般式，利用待点系数法求过A（-1，0）、C（0，3）、D（4，5）的二次函数的解析式；当点D在射线BA上，如图2，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，与前面的解法相同．
点评：本题考查了二次函数综合题：熟练运用待定系数法求二次函数的解析式；运用相似三角形的判断与性质、勾股定理和等腰直角三角形的性质计算有关线段的长度；正确运用分类讨论的思想．