题目内容
如图①，在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角板ABC的直角顶点A在y轴上，坐标为（0，－1），另一顶点B坐标为（－2，0），已知二次函数y＝
x2＋bx＋c的图象经过B、C两点．现将一把直尺放置在直角坐标系中，使直尺的边A'D'∥y轴且经过点B，直尺沿x轴正方向平移，当A'D'与y轴重合时运动停止．
（1）求点C的坐标及二次函数的关系式；
（2）若运动过程中直尺的边A'D'交边BC于点M，交抛物线于点N，求线段MN长度的最大值；
（3）如图②，设点P为直尺的边A'D'上的任一点，连接PA、PB、PC，Q为BC的中点，试探究：在直尺平移的过程中，当PQ＝
时，线段PA、PB、PC之间的数量关系．请直接写出结论，并指出相应的点P与抛物线的位置关系．
（说明：点与抛物线的位置关系可分为三类，例如，图②中，点A在抛物线内，点C在抛物线上，点D'在抛物线外．）
（1）C（-1，-3）．y=
x2+x-3．（2）
．（3）PB-PC=
PA．
【解析】
试题分析：（1）求C点坐标，考虑作x，y轴垂线，表示横纵坐标，易得△CDA≌△AOB，所以C点坐标易知．进而抛物线解析式易得．
（2）横坐标相同的两点距离，可以用这两点的纵坐标作差，因为两点分别在直线BC与抛物线上，故可以利用解析式，设横坐标为x，表示两个纵坐标．作差记得关于x的二次函数，利用最值性质，结果易求．
（3）计算易得，BC=
，因为Q为BC的中点，PQ=
恰为半径，则以作圆，P点必在圆上．此时连接PB，PC，PA，因为BC为直径，故BP2+CP2=BC2为定值，而PA不固定，但不超过BC，所以易得结论BP2+CP2≥PA2，题目要求考虑三种情况，其中P在抛物线上时，P点只能与B或C重合，此时，PA，PB，PC可求具体值，则有等量关系．
试题解析：（1）如图1，过点C作CD⊥y轴于D，此时△CDA≌△AOB，
∵△CDA≌△AOB，
∴AD=BO=2，CD=AO=1，
∴OD=OA+AD=3，
∴C（-1，-3）．
将B（-2，0），C（-1，-3）代入抛物线y=x2+bx+c，
解得 b=，c=-3，
∴抛物线的解析式为y=x2+x-3．
（2）设lBC：y=kx+b，
∵B（-2，0），C（-1，-3），
∴
，
解得 
，
∴lBC：y=-3x-6，
设M（xM，-3xM-6），N（xN，
xN2+xN-3），
∵xM=xN（记为x），yM≥yN，
∴线段MN长度=-3x-6-（x2+x-3）=-（x+）2+，（-2≤x≤-1），
∴当x=-时，线段MN长度为最大值．
（3）答：P在抛物线外时，BP2+CP2≥PA2；P在抛物线上时，BP+CP=
AP；P在抛物线内，BP2+CP2≥PA2．
分析如下：
如图2，以Q点为圆心，
为半径作⊙Q，
∵OB=2，OA=1，
∴AC=AB=
=
，
∴BC=
，
∴BQ=CQ=
，
∵∠BAC=90°，
∴点B、A、C都在⊙Q上．
①P在抛物线外，
如图3，圆Q与BD′的交点即为点P，连接PB，PC，PA，延长PC交y轴于点D
∵BC为直径，
∴∠BPC=90°
∵BD′与y轴平行
∴∠ADC=90°，且D点为抛物线与y轴交点
∴PD∥x轴
易得PC=1，PB=3，PA=2
∴BP+CP=AP．
②P在抛物线上，此时，P只能为B点或者C点，
∵AC=AB=
，
∴AP=，
∵BP+CP=BC=
，
∴BP+CP=AP．
③P在抛物线内，有两种情况，如图4，5，
如图4，在PC上取BP=PT，
∵BC为直径，
∴∠BPC=90°
∴△BPT为等腰直角三角形
∴∠PBT=45°=∠1+∠2
∵∠ABC=∠3+∠2=45°
∴∠1=∠3
∵∠BAP=∠BCP（同弧BP）
∴△BPA∽△BTC
∴
∵PC=PT+CT
∴PC=PT+PA=PB+PA
∴PC-PB=PA
同理，如图5，也可得PB-PC=PA．
考点：二次函数综合题．
（
）的一个解是
，则
的值是 ．
B．
D．
x2+mx+2的对称轴为直线x=
，则m= ．