题目内容

如图，已知抛物线y=mx²+（3-m）x+m²+m交x轴于C（x₁，0），D（x₂，0）两点，（x₁＜x₂）且（x₁+1）（x₂+1）=5
（1）试确定m的值；
（2）过点A（-1，-5）和抛物线的顶点M的直线交x轴于点B，求B点的坐标；
（3）设点P（a，b）是抛物线上点C到点M之间的一个动点（含C、M点），△POQ是以PO为腰、底边OQ在x轴上的等腰三角形，过点Q作x轴的垂线交直线AM于点R，连接PR．设△PQR的面积为S，求S与a之间的函数关系式．

解：（1）因为抛物线y=mx²+（3-m）x+m²+m交x轴于C（x₁，0），D（x₂，0）两点（x₁＜x₂）且（x₁+1）（x₂+1）=5，
∴m≠0
∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且△=（3-m）²-4m（m²+m）＞0，
又∵x₁x₂+x₁+x₂+1=5，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得m=-1，或m=3，而m=3使△＜0，不合题意，故舍去，
∴m=-1；

（2）由（1）知抛物线的解析式为y=-x²+4x，
∴顶点M的坐标为（2，4）．如图，
设直线AM的解析式为y=kx+b，
∵A（-1，-5），
则有 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∴y=3x-2，
当y=0时， $\text{[math]}$ ，
∴B点的坐标为（ $\text{[math]}$ ，0）；

（3）依题意，点P（a，b）是抛物线上点C到点M之间的一个动点，
∴0＜a≤2，
∴Q点坐标为（2a，0），
由（2）知直线AM为y=3x-2，
∴当x=2a时，y=6a-2，
∴点R的坐标为（2a，6a-2），
过点P作PN⊥RQ于点N，
∵RQ=|6a-2|，PN=|a|，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ =-3a²+a，
当 $\text{[math]}$ 时，△PQR不存在；
当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ =3a²-a．
分析：（1）用m表示出二次函数两个根的和、积，代入等式（x₁+1）（x₂+1）=5，并结合△=（3-m）²-4m（m²+m）＞0，解出即可；
（2）由抛物线的解析式得出顶点坐标，又∵A（-1，-5），用待定系数法可求出直线的解析式，令y=0，即可求出x，得点B的坐标；
（3）点P（a，b），根据题意得，Q点坐标为（2a，0），由直线的解析式得，点R的坐标为（2a，6a-2），过点P作PN⊥RQ于点N，则RQ=|6a-2|，PN=|a|，所以， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，分类讨论解答出即可．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式、解析式和三角形的面积求法等；在求有关动点问题时要注意分析题意、分情况讨论结果．