Question

如图，AC为⊙O的直径，AC=4，B、D分别在AC两侧的圆上，∠BAD=60°，BD与AC的交点为E．

（1）求点O到BD的距离及∠OBD的度数；

（2）若DE=2BE，求cos∠OED的值和CD的长．

Answer 1

解：（1）作OF⊥BD于点F，连接OD，

∵∠BAD=60°，

∴∠BOD=2∠BAD=120°，

又∵OB=OD，

∴∠OBD=30°，

∵AC为⊙O的直径，AC=4，

∴OB=OD=2．

在Rt△BOF中，∵∠OFB=90°，OB=2，∠OBF=30°，

∴OF=OB•sin∠OBF=2sin30°=1，

即点O到BD的距离等于1．

（2）∵OB=OD，OF⊥BD于点F，

∴BF=DF．

由DE=2BE，设BE=2x，则DE=4x，BD=6x，EF=x，BF=3x．

∵BF=OB•cos30°=，

∴，EF=，

在Rt△OEF中，∠OFE=90°，∵tan∠OED==，

∴∠OED=60°，cos∠OED=，

∴∠BOE=∠OED﹣∠OBD=30°，

∴∠DOC=∠DOB﹣∠BOE=90°，

∴∠C=45°．

∴CD=OC=2．