Question

如图，小聪画了一个矩形ABCD，又取CD的中点E，使BE⊥AC交AC于F，再过F作FG∥AB交AE于G，他又量出AG=4.25cm，CF=3cm．
（1）他通过观察，猜想：△EGF∽

△EAB

．证明：
（2）请你通过计算帮他算出AC的长．

Answer 1

分析：（1）根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似确定三角形并进行证明；
（2）先求出△ABF和△CEF相似，再根据相似三角形对应边成比例列式求出AF=2CF，然后再根据AC=AF+CF计算即可得解．

解答：（1）答：△EGF∽△EAB．
证明：∵FG∥AB，
∴∠EGF=∠EAB，∠EFG=∠EBA，
∴△EGF∽△EAB；

（2）解：∵E是CD的中点，矩形的对边AB=CD，
∴CE=

1

2

CD=

1

2

AB，
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△CEF，
∴

CE

AB

=

CF

AF

，
∴AF=

AB

CE

•CF=2CF=2×3=6cm，
∴AC=AF+CF=6+3=9cm．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，比较简单，熟记平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似是解题的关键．