Question

如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点D，CE平分∠ACD，分别交AD、BD于E、G，EF∥AC交CD于F，连接OE下列结论：①EF=AE，②∠AOE=∠AEO，③OG=

1

2

AE，④S_△ACE=2S_△DCE，⑤AB=(

2

+1)DG．其中正确的是（　　）

A．①③⑤

B．①②④

C．①③④

D．②③⑤

Answer 1

分析：正方形的四个角是直角，对角线垂直相等且平分每一组对角，以及对应线段成比例，勾股定理知识的应用．

解答：解：∵CE平分∠ACD，EF∥AC，
∴△CFE是等腰三角形，
∴CF=EF，
∵CF=AE，
∴EF=AE．（故①正确）．
∵EF≠AO，
∴AE≠AO．（故②错误）．

作CA的垂线MA和CE的延长线交于M点，
∵GO=

1

2

MA，
∵CM为∠ACD的平分线，
∴∠DCE=∠ACM，又∠CDE=∠CAM=90°，
∴∠CED=∠M，又∠CED=∠AEM，
∴∠AEM=∠M，
∴MA=AE，
∴GO=

1

2

AE，（故③正确）．

设GO=x，
∵GO=

1

2

AE=

1

2

EF，
∴EF=AE=2x，
∴DN=NE=

1

2

EF=x，
∴DE=

2

x，
∵EF∥AC，
∴

EF

AC

=

DE

AD

，
∴AC=2（

2

+1）x，
∴OD=OA=（

2

+1）x，
∴DG=DO-OG=

2

x，
∵AB=DA=DE+AE=

2

x+2x，
∴AB=（

2

+1）DG．（故⑤正确）．
∵

AE

DE

=

2

，
∴S_△ACE=

2

S_△DCE．
（故④错误）．
故正确的为①③⑤．
故选A．

点评：本题考查了正方形的性质，平行线的性质以及勾股定理的知识点．