Question

【题目】（1）发现探究：如图1，矩形和矩形位似，，连接，则线段与有何数量关系，关系是__________．直线与直线所夹锐角的度数是__________．

（2）拓展探究：如图2，将矩形绕点逆时针旋转角，上面的结论是否仍然成立？如果成立，请就图2给出的情况加以证明．

（3）问题解决：若点是的中点，，连接，，在矩形绕点旋转过程中，请直接写出长的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；；（2）结论仍然成立，详见解析；（3）．

【解析】

（1）由矩形的性质和三角函数的知识可得∠BAC=30°，然后根据位似图形的性质可得A、F、C三点共线，EF∥BC以及直线与直线所夹锐角的度数，再根据平行线分线段成比例定理即得与的数量关系；

（2）易得，故可根据两边成比例且夹角相等证明∽，于是可得，∠ABE=∠ACF，于是只要求出即可求出直线与直线所夹锐角的度数，进而可得结论；

（3）如图3，取的中点N，连接GN、MN，由三角形的三边关系可知：（“=”号仅当G、N、M三点共线时成立），然后根据三角形的中位线定理和直角三角形斜边中线的性质可分别求出MN和GN的长，进而可得结果．

解：（1）∵，∠B=90°，

∴∠BAC=30°，

∵矩形和矩形位似，

∴A、F、C三点共线，EF∥BC，直线与直线所夹锐角的度数是30°，

∴；

故答案为：；；

（2）结论仍然成立．

证明：如图2，

∵，

∴，

∵，

∴∽，

∴，∠ABE=∠ACF，

∴，

∴直线与直线所夹锐角的度数=；

（3）如图3，取的中点N，连接GN、MN，在中，（“=”号仅当G、N、M三点共线时成立），

∵，∴，

∵N为AF中点，M为CF中点，

∴，

∵N为AF中点，∠AGF=90°，，

∴，

∴

即GM长的取值范围是：．