Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E

（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若OB＝2，CD＝，求图中阴影部分的面积（结果保留）．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）欲证明AC是⊙O的切线，只要证明OD⊥AC即可．

（2）证明△OBE是等边三角形即可解决问题．

（1）证明：连接OD，如图，

∵BD为∠ABC平分线，

∴∠1＝∠2，

∵OB＝OD，

∴∠1＝∠3，

∴∠2＝∠3，

∴OD∥BC，

∵∠C＝90°，

∴∠ODA＝90°，

∴OD⊥AC，

∴AC是⊙O的切线．

（2）过O作OG⊥BC，连接OE，则四边形ODCG为矩形，

∴GC＝OD＝OB＝2，OG＝CD＝，

在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG＝1，

∴BE＝2，则△OBE是等边三角形，

∴阴影部分面积为﹣×2×＝．