Question

在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，将△ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处；将△ACD沿AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB、FC使其交于点M．

(1)判断四边形AEMF的形状，并给予证明．

(2)若BD＝1，CD＝2，试求四边形AEMF的面积．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵ADBC 　　△AEB是由△ADB折叠所得 　　∴∠1＝∠3，∠E＝∠ADB＝，BE＝BD， 　　AE＝AD 　　又∵△AFC是由△ADC折叠所得 　　∴∠2＝∠4，∠F＝∠ADC＝，FC＝CD，AF＝AD 　　∴AE＝AF　　2分 　　又∵∠1＋∠2＝， 　　∴∠3＋∠4＝ 　　∴∠EAF＝　　3分 　　∴四边形AEMF是正方形．　　5分 　　(2)方法一：设正方形AEMF的边长为x 　　根据题意知：BE＝BD，CF＝CD 　　∴BM＝x－1；　　CM＝x－2　　7分 　　在Rt△BMC中，由勾股定理得： 　　 　　∴ 　　 　　解之得：　　(舍去) 　　∴　　10分 　　方法二：设：AD＝x 　　∴＝ 　　∴　　7分 　　∵ 　　且 　　∴　　即 　　解之得：　　(舍去) 　　∴　　10分