题目内容
如图，在平面直角坐标系中，四边形
为矩形，
，
，
为直线
上一动点，将直线
绕点逆时针方向旋转
交直线
于点
；
（1）当点
在线段上运动（不与
重合）时，求证：OA·BQ=AP·BP；（2）在（1）成立的条件下，设点
的横坐标为
，线段
的长度为
，求出关于的函数解析式，并判断是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。（3）直线
上是否存在点，使
为等腰三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由。
略解析:
（1）证明：∵四边形OABC为矩形
∴∠OAP=∠QBP=90°，
∵∠OPQ=90°, ∴∠APO+∠BPQ=90=∠APO+∠AOP
∴∠BPQ=∠AOP, ∴△AOP∽△BPQ
∴
∴OA·BQ=AP·BP ----------------------3分
(2) 由（1）知OA·BQ=AP·BP ∴3×BQ="m(4-m) " ∴BQ=
∴CQ=3-=
即L= (0＜m＜4)
=
∴当m="2" 时， L（最小）=
-----------------6分
(3)∵∠OPQ=90°,∴要使△POQ为等腰三角形，则PO="PQ" .
当点P在线段AB上时，如图
AOP≌△BPQ ∴PB="AO=3 "
∴AP=4-3=1
∴
(1,3)
当点P在线段AB的延长线上时，如图
此时△QBP≌△PAO
∴PB="AO=3 " ∴AP="4+3=7 "
∴
(7,3)
当点P在线段AB的反向延长线上时，如图
此时∵PB＞AB＞AO,
∴△PQB不可能与△OPA全等,
即PQ不可能与PO相等,
此时点P不存在.
综上所述，知存在(1,3), (7,3). ---------------9分
（1）证明：∵四边形OABC为矩形
∴∠OAP=∠QBP=90°，
∵∠OPQ=90°, ∴∠APO+∠BPQ=90=∠APO+∠AOP
∴∠BPQ=∠AOP, ∴△AOP∽△BPQ
∴
∴OA·BQ=AP·BP ----------------------3分
(2) 由（1）知OA·BQ=AP·BP ∴3×BQ="m(4-m) " ∴BQ=
∴CQ=3-
=即L=
(0＜m＜4)=
∴当m="2" 时， L（最小）=
-----------------6分(3)∵∠OPQ=90°,∴要使△POQ为等腰三角形，则PO="PQ" .
当点P在线段AB上时，如图
AOP≌△BPQ ∴PB="AO=3 "
∴AP=4-3=1
∴
(1,3)当点P在线段AB的延长线上时，如图
此时△QBP≌△PAO
∴PB="AO=3 " ∴AP="4+3=7 "
∴
(7,3) 当点P在线段AB的反向延长线上时，如图
此时∵PB＞AB＞AO,
∴△PQB不可能与△OPA全等,
即PQ不可能与PO相等,
此时点P不存在.
综上所述，知存在
(1,3), (7,3). ---------------9分 
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目
如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的一个动点，但是点P不与点0、点A重合．连接CP，D点是线段AB上一点，连接PD．
（2012•渝北区一模）如图，在平面直角坐标xoy中，以坐标原点O为圆心，3为半径画圆，从此圆内（包括边界）的所有整数点（横、纵坐标均为整数）中任意选取一个点，其横、纵坐标之和为0的概率是
如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为
如图，在平面直角坐标xOy中，已知点A（-5，0），P是反比例函数
∠COA=45°，动点P从点O出发，在梯形OABC的边上运动，路径为O→A→B→C，到达点C时停止．作直线CP．