Question

【题目】在矩形中，，以为直径的半圆在矩形的外部，如图1，将半圆绕点顺时针旋转α度（0°≤ɑ≤180°）．

（1）在旋转过程中，的最小值是_____________，当半圆的直径落在对角线上时，如图2，设半圆与的交点为，则长为__________．

（2）将半圆与直线相切时，切点为，半圆与线段的交点为，如图3，求劣弧的长；

（3）在旋转过程中，当半圆弧与直线只有一个交点时，设此交点与点的距离为请直接写出的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）1；；（2）；（3）或

【解析】

（1）连接B′M，则∠B′MA=90°，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AC的长度，由∠B=∠B′MA=90°、∠BCA=∠MAB′可得出△ABC∽△AMB′，根据相似三角形的性质可求出AM的长度；

（2）连接OP、ON，过点O作OG⊥AD于点G，则四边形DGON为矩形，进而可得出DG、AG的长度，在Rt△AGO中，由AO=2、AG=1可得出∠OAG=60°，进而可得出△AOP为等边三角形，再利用弧长公式即可求出劣弧AP的长；

（3）由（2）可知：△AOP为等边三角形，根据等边三角形的性质可求出OG、DN的长度，进而可得出CN的长度，画出点B′在直线CD上的图形，在Rt△AB′D中（点B′在点D左边），利用勾股定理可求出B′D的长度进而可得出CB′的长度，再结合图形即可得出：半圆弧与直线CD只有一个交点时d的取值范围．

解：（1）∵在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，

∴AC=5，

在旋转过程中，当点B′落在对角线AC上时，B′C的值最小，最小值为1；

在图2中，连接B′M，则∠B′MA=90°，

在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，

∴AC=5，

∵∠B=∠B′MA=90°，∠BCA=∠MAB′，

∴△ABC∽△AMB′，

∴,即，

∴，

故答案为：1，；

（2）解：如图3，连接，过作于点，

∵半圆与直线相切，

，

∴四边形为矩形，

∴，

在中，，，

，

，

为等边三角形，

，

∴劣弧的长=；

（3）由（2）可知：△AOP为等边三角形，

∴，

∴，

当点B′在直线CD上时，如图4所示，

在Rt△AB′D中（点B′在点D左边），AB′=4，AD=3，

∴，

∴，

∵AB′为直径，

∴∠AD B′=90°，

∴当点B′在点D右边时，半圆交直线CD于点D、B′，

∴当半圆弧与直线CD只有一个交点时，或.