题目内容
【题目】如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，M 在 AC上，且AM＝6cm，过点 A(与 BC 在 AC 同侧)作射线 AN⊥AC，若动点 P 从点 A 出发，沿射线 AN 匀速运动，运动速度为 1cm/s，设点 P 运动时间为 t 秒．
(1)经过 秒时，Rt△AMP 是等腰直角三角形？
(2)经过几秒时，PM⊥MB？
(3)经过几秒时，PM⊥AB？
(4)当△BMP 是等腰三角形时，直接写出 t 的所有值．
【答案】(1)6；(2)2；(3)8；(4)2或
.
【解析】
(1)得出腰时AM=AP，即可得出答案；
(2)根据垂直的定义和同角的余角相等得到∠CBM＝∠AMP，证明△CBM≌△AMP，根据全等三角形的性质得到 AP＝CM＝2，根据题意得到答案；
(3)证明△APM≌△CAB，根据全等三角形的性质得到 AP＝CA＝8，根据题意得到答案；
(4)分 MB＝MP 和 PB＝PM 两种情况，根据全等三角形的性质，勾股定理计算即可．
(1)当 Rt△AMP 是等腰直角三角形时，AP＝AM＝6cm，
∴t＝6÷1＝6(s)，
故答案为：6；
(2)当 PM⊥MB 时，∠BMP＝90°，
∴∠BMC+∠AMP＝90°，又∠BMC+∠CBM＝90°，
∴∠CBM＝∠AMP，
在△CBM 和△AMP 中，
，
∴△CBM≌△AMP(ASA)，
∴AP＝CM＝2，
∴t＝2，即经过 2 秒时，PM⊥MB；
(3)当 PM⊥AB 时，如图1，∠PHA＝90°，
∴∠HPA+∠HAP＝90°，又∠HAP+∠CAB＝90°，
∴∠APM＝∠CAB，
在△APM 和△CAB 中，
，
∴△APM≌△CAB(ASA)，
∴AP＝CA＝8，
∴t＝8，
∴经过 8 秒时，PM⊥AB；
(4)根据勾股定理得，BM＝
，BP 的最小值为 8，
∵
＜8，
∴BM≠BP，
当 MB＝MP 时，
在 Rt△BCM 和 Rt△MAP 中，
，
∴Rt△BCM≌Rt△MAP(HL)，
∴AP＝CM＝2， 则 t＝2，
当 PB＝PM 时，如图2，作BF⊥AN于 F， 则四边形 BCAF 为矩形，
∴BF＝CA＝8，AF＝BC＝6，
∴PF＝6﹣t，
由勾股定理得，BP2＝PF2+BF2，MP2＝AM2+AP2，
∴PF2+BF2＝AM2+AP2，即(6﹣t)2+82＝62+t2， 解得，t＝，
∴当△BMP 是等腰三角形时，t＝2 或.
