Question

【题目】如图(1)，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F．

(1)求证：OE＝OF；

(2)如图(2)，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交DB的延长线于点F，其他条件不变，则结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．

又∵AM⊥BE，∴∠MEA＋∠MAE＝90°＝∠AFO＋∠MAE，

∴∠MEA＝∠AFO，∴Rt△BOE≌Rt△AOF，∴OE＝OF．

(2)OE＝OF成立．

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．

又∵AM⊥BE，∴∠F＋∠MBF＝90°＝∠E＋∠OBE．

又∵∠MBF＝∠OBE，∴∠F＝∠E，

∴Rt△BOE≌Rt△AOF，∴OE＝OF．

【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到OB=OA，又因为AM⊥BE，所以∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，从而求证出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE=OF．（2）根据第一步得到的结果以及正方形的性质得到OB=OA，再根据已知条件求证出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE=OF．

试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形．

∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA．

又∵AM⊥BE，

∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，

∴∠MEA=∠AFO．

∴Rt△BOE≌Rt△AOF．

∴OE=OF．

解：OE=OF成立．

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA．

又∵AM⊥BE，

∴∠F+∠MBF=90°，

∠E+∠OBE=90°，

又∵∠MBF=∠OBE，

∴∠F=∠E．

∴Rt△BOE≌Rt△AOF．

∴OE=OF．