Question

【题目】如图，矩形的两条边、分别在轴和轴上，已知点 坐标为(4，–3).把矩形沿直线折叠，使点落在点处，直线与、、的交点分别为、、.

(1)线段 ；

(2)求点坐标及折痕的长;

(3)若点在轴上，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形?若存在，则请求出点的坐标;若不存在，请说明理由;

Answer 1

【答案】（1）；（2）；拆痕DE的长为； （3）点Q坐标为

【解析】

（1）根据B点的坐标即可求得AC的长度.

（2）首先根据已知条件证明，再根据相似比例计算DF、CD的长度

即可计算出D点的坐标，再证明，根据EF=DF，即可计算的DE的长度.

（3）根据等腰三角形的性质，分类讨论第一种情况当时；第二种情况当时；第三种情况当时，分别计算即可.

解：（1）

（2），由折叠可得：

,.

∵四边形OABC是矩形，

∴拆痕DE的长为

（3）由（2）可知，，

若以P、D、E、Q为顶点的四边形是菱形，则必为等腰三角形。

当时，可知，

此时PE为对角线，可得

当时，可知，此时DP为对角线，可得；

当时，P与C重合，Q与A重合，

综上所述，满足条件的点Q坐标为