Question

3．如图，已知A（2，0），B（4，0），点P是直线y=x上一点，当PA+PB最小时，点P的坐标为（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$）．

Answer 1

分析 先作出点A关于直线y=x的对称点A′，再连接A′B，求出直线A′B的函数解析式，再联立直线y=x列方程组即可求解．

解答 解：如图，作A关于直线y=x的对称点A′，
则PA=PA′，
故PA+PB=PA′+PB，
由图知，只有当A、P、B共线时，PA+PB最小，
又由A与A′关于y=x对称知，A′（0，2），
由A′、B两点坐标得直线A′B的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
联立 $\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$，
解得 x=y=$\frac{4}{3}$，
故当PA+PB最小时，P的坐标为：（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$）．
故答案为：（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$）．

点评 此题主要考查了轴对称--最短路线问题，综合运用了一次函数和方程组的知识，综合性较强，做题的关键是正确作出图形．