题目内容

（2013•安徽）我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图1所示基本图的特征点，显然这样的基本图共有7个特征点，将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图2，图3，…

（1）观察以上图形并完成下表：
图形的名称 基本图的个数 特征点的个数
图1 1 7
图2 2 12
图3 3 17
图4 4
22
22
… … …
猜想：在图（n）中，特征点的个数为
5n+2
5n+2
（用n表示）；
（2）如图，将图（n）放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心O1的坐标为（x1，2），则x1=
3
3
；图（2013）的对称中心的横坐标为
2013
3
2013
3
．
分析：（1）观察图形，结合已知条件，得出将基本图每复制并平移一次，特征点增加5个，由此得出图4中特征点的个数为17+5=22个，进一步猜想出：在图（n）中，特征点的个数为：7+5（n-1）=5n+2；
（2）过点O1作O1M⊥y轴于点M，根据正六边形、等腰三角形的性质得出∠BO1M=30°，再由余弦函数的定义求出O1M=
3
，即x1=
3
；然后结合图形分别得出图（2）、图（3）、图（4）的对称中心的横坐标，找到规律，进而得出图（2013）的对称中心的横坐标．
解答：解：（1）由题意，可知图1中特征点有7个；
图2中特征点有12个，12=7+5×1；
图3中特征点有17个，17=7+5×2；
所以图4中特征点有7+5×3=22个；
由以上猜想：在图（n）中，特征点的个数为：7+5（n-1）=5n+2；

（2）如图，过点O1作O1M⊥y轴于点M，
又∵正六边形的中心角
360°
6
=60°，O1C=O1B=O1A=2，
∴∠BO1M=30°，
∴O1M=O1B•cos∠BO1M=2×
3
2
=
3
，
∴x1=
3
；
由题意，可得图（2）的对称中心的横坐标为
1
2
（2
3
×2）=2
3
，
图（3）的对称中心的横坐标为
1
2
（2
3
×3）=3
3
，
图（4）的对称中心的横坐标为
1
2
（2
3
×4）=4
3
，
…
∴图（2013）的对称中心的横坐标为
1
2
（2
3
×2013）=2013
3
．
故答案为22，5n+2；
3
，2013
3
．
点评：本题借助正六边形考查了规律型：图形的变化类问题，难度适中．关键是通过观察、归纳与总结，得到其中的规律；（2）要注意求的是整个图形的对称中心的横坐标，而不是第2013个正六边形的对称中心的横坐标，这也是本题容易出错的地方．
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4
4
，P到OB的距离为
2
2
，P到AB的距离为
0.8
0.8
，所以P到△AOB的距离为
0.8
0.8
；
（2）若点Q是图2中△AOB的内切圆圆心，求点Q到△AOB距离的最大值；
（3）若点R是图3中△AOB内一点，且点R到△AOB的距离为1，请画出所有满足条件的点R所形成的封闭图形，并求出这个封闭图形的周长．（画图工具不限）
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AB
DC
=
BE
EC
；
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