题目内容

2002年国家旅游总局把“中国姜堰•溱潼会船节”列为中国十大民俗文化节庆之一，每年清明都在美丽的溱湖举办撑花船比赛，下图是反映今年比赛中，甲、乙两船在比赛时，路程y（千米）与时间x（小时）函数图象，请根据图象所提供的信息解答下列问题：

（1）先到达终点的是船；该船的速度是每小时千米；
（2）在哪一段时间，甲船的速度大于乙船的速度？
（3）点P是两条线的一个交点，它表示；你能求出该点所对应的时间吗？

解：（1）从图中可知，先到达终点的是乙船，
设乙船的正比例函数图象为y=kx，
∵点（1，16）在该一次函数图象上
∴16=k×1，即k=16，
∴乙船的速度16千米/小时；

（2）设甲船在OA段的函数图象为y=mx，
∵点Q（1，20）在该一次函数图象上，
∴20=m×1，
解得 m=20，
即在OA段甲船的速度是20千米/小时，
在0＜x＜1这段时间内，甲船的速度大于乙船的速度；

（3）点P表示乙船追上甲船并超过甲船的瞬间．
设甲船行进中的QB段一次函数的关系式为y=nx+b，
∵Q（1，20）、B（2.5，35）两点在该函数图象上，
联立组成二元一次方程组 $\text{[math]}$ ，
解得 n=10，b=10
∴甲船行进中QB段的一次函数的关系式为y=10x+10，
由（1）知乙船的正比例函数图象为y=16x，
又∵P点为正比例函数y=16x与一次函数y=10x+10图象的交点，
联立组成二元一次方程组 $\text{[math]}$ ，
解得x= $\text{[math]}$ ，
∴P点所对应的时间为 $\text{[math]}$ 小时（即100分钟）．
答：（1）先到达终点的是乙船，该船的速度是每小时16千米；
（2）在0＜x＜1这段时间内，甲船的速度大于乙船的速度；
（3）点P表示乙船追上甲船并超过甲船的瞬间，P点所对应的时间为 $\text{[math]}$ 小时（即100分钟）．
分析：（1）从上右坐标图中不难发现，到终点行走了35千米，且乙需要的时间小于甲船需要的时间，所以说乙船先到达终点．乙船在比赛时，路程y（千米）与时间x（小时）函数图象符合正比例函数的图象，故设该函数图象为y=kx．且坐标点（1，16）在该一次函数图象上，代入即可求得k的值，即为乙船的速度．
（2）从图中发现甲船行进中，在OQ段满足正比例函数关系式，且与乙船的函数图象的斜率比较，甲船要大．所以从开始出发到1小时这段时间甲船的速度大于乙船的速度．
（3）从图中不难发现，甲船行进中的QB段满足一次函数的关系式，故设该函数关系式为y=nx+b．且Q（1，20）、B（2.5，35）两点在该函数图象上，因而代入联立组成二元一次方程组求得n、b的值．又从图象可知P点为正比例函数y=kx与一次函数y=nx+b图象的交点．联立解得P点的坐标值．
点评：本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．熟练掌握一次函数、正比例函数的含义，看懂图象再灵活组成方程组求解，是解决本类题目的关键，同时本题也是数形结合的典型题例．