如图.已知AB切⊙O于点B.AB的垂直平分线CF交AB于点C.交⊙O于D.E．设点M是射线CF上的任意一点.CM=a.连接AM.若CB=3.DE=8．(1)求CD的长,(2)当M在线段DE上时.延长AM交⊙O于点N.连接NE.若△ACM∽△NEM.求证:EN=AB,(3)当M在射线EF上时.若a为小于17的正数.问是否存在这样的a.使得AM与⊙O相切?若存在.求出a的值,若� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

（1998•江西）如图，已知AB切⊙O于点B，AB的垂直平分线CF交AB于点C，交⊙O于D、E．设点M是射线CF上的任意一点，CM=a，连接AM，若CB=3，DE=8．
（1）求CD的长；
（2）当M在线段DE（不含端点E）上时，延长AM交⊙O于点N，连接NE，若△ACM∽△NEM，求证：EN=AB；
（3）当M在射线EF上时，若a为小于17的正数，问是否存在这样的a，使得AM与⊙O相切？若存在，求出a的值；若不存在，试说明理由．

分析：（1）首先过点O作OG⊥DE，垂足G，连接OB，OD，由垂径定理可得DG的长，又由AB切⊙O于点B，易得四边形BCGO是矩形，然后在Rt△ODG中，利用勾股定理，即可求得⊙O的半径长，继而求得CD的长；
（2）由△ACM∽△NEM，易得NE∥AB，然后连接OB并反向延长交NE于H，易证得NH=EH=

EN，四边形BCHE为矩形，继而可得BC=CA=

AB，则可证得：EN=AB；
（3）首先设AM切⊙O于点R，RM=x，EM=y，由切割线定理，可得RM²=EM•DM，即 x²=y（y+8）①，由勾股定理可得在Rt△ACM中，AM²=AC²+CM²，即（6+x）²=9+（9+y）²②，联立①②，即可求得EM的长，继而求得答案．

解答：

解：（1）过点O作OG⊥DE，垂足G，连接OB，OD，
∵DE=8，
∴DG=GE=

DE=4，
∵AB切⊙O于点B，
∴OB⊥AB，
∵DE⊥AB，
∴四边形BCGO是矩形，
∴OG=CB=3，CG=OB，
∴在Rt△ODG中，r=OD=

OG2+DG2

=5，
∴CG=OB=5，
∴CD=CG-DG=5-4=1；

（2）∵△ACM∽△NEM，
∴∠NEM=90°，
∴NE∥AB，
连接OB并反向延长交NE于H，
∴∠OHE=180°-∠ABO=90°，
∴NH=EH=

EN，
∵∠OHE=∠NEM=∠ACM=∠BCM=90°，
∴四边形BCHE为矩形，
∴BC=EH，
又∵BC=CA=

AB，
∴EN=AB；

（3）解：存在．
如图，设AM切⊙O于点R，RM=x，EM=y，
∵CB=3，DE=8．
∴DM=DE+EM=y+8，
∴RM²=EM•DM，
即 x²=y（y+8）①，
∵CF是AB的垂直平分线，
∴AC=BC=3，
∴AB=6，
∵AB与AR都是⊙O的切线，
∴AR=AB=6，
∴AM=6+x，CM=CD+DM=9+y，
∵在Rt△ACM中，AM²=AC²+CM²，
∴（6+x）²=9+（9+y）²②，
联立①②：
②-①得：12x-10y-54=0，
∴x=

5y+27

③，
③代入①，整理得：11y²+18y-27=0，
即（11y-81）（y+9）=0，
解得：y=

或y=-9（舍去），
∴CM=9+y=

180

＜17．
∴当a=

180

时，使得AM与⊙O相切．

点评：此题考查了切线的性质、切线长定理、切割线定理、垂径定理、矩形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．