Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是梯形内一点，ED⊥AD于D，DE的延长线交BC于F，∠EBC=∠EDC，∠ECB=45°．
（1）求证：BE=CD；
（2）若DC=4，∠DCB=60°，求DE的长．

Answer 1

（1）证明：∵AD∥BC，ED⊥AD于D，
∴∠DFC=∠BFE=90°，而∠ECB=45°，
∴△EFC是等腰直角三角形，
∴EF=FC，而∠EBC=∠EDC，
∴△BEF≌△DCF，
∴BE=CD．

（2）解：在Rt△DCB中，DC=4，∠DCB=60°，
∴CF=2，DF=2，
而据（1）得EF=CF
∴DE=2-2．
分析：（1）此题利用梯形的性质和等腰三角形的性质可以证明△BEF≌△DCF，然后利用全等三角形的性质解决问题；
（2）在Rt△DCB中利用已知条件解直角三角形可以得到CF，DE的长，然后利用（1）的结论可以求出DE的长．
点评：此题主要考查了梯形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质等知识，有一定的综合性．