Question

如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连结DE、OE.

【小题1】试判断DE与⊙O的位置关系并证明
【小题2】求证：BC＝2CD·OE；
【小题3】若tanC=,DE=2，求AD的长

Answer 1

【小题1】DE与⊙O相切.……………………………………1分
证明：连接OD，BD。………………………………2分
∵AB是直径，∴∠ADB=∠BDC=90°.
∵E是BC的中点，∴DE=BE=CE. ∴∠EBD=∠EDB.
∵OD=OB，  ∴∠OBD=∠ODB.
∴∠EDO=∠EBO=90°. ∴DE与⊙O相切.………………4分
【小题2】∵OE是△ABC的中位线，∴AC=2OE……………5分
∴△ABC∽△BDC.…………………………………………6分
∴= .  即BC²=CD·AC.
∴BC=2CD·OE.……………………………………………7分
【小题3】解析:

（3）∵tanC=，∴可设BD=，CD=2x.…………8分
在Rt△BCD中，.解之，得x=±(负值舍去)
∴BD==……………………………………9分
∵tan∠ABD=tan∠C,∴AD=BD=.………………………………10分