Question

已知二次函数y₁=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过三点（1，0），（-3，0），（0，-）。

（1）求二次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出这个函数的图象；
（2）若反比例函数y₂=（x＞0）的图象与二次函数y₁=ax²+bx+c（a≠0）的图象在第一象限内交于点A（x₀，y₀），x₀落在两个相邻的正整数之间，请你观察图象，写出这两个相邻的正整数；
（3）若反比例函数y₂=（x＞0，k＞0）的图象与二次函数y₁=ax²+bx+c（a≠0）的图象在第一象限内的交点A，点A的横坐标x₀满足2＜x₀＜3，试求实数k的取值范围。

Answer 1

解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-1）（x+3），
将（0，-）代入，解得a=，
∴抛物线解析式为y=x²+x-；
画图“略”；
（2）正确的画出反比例函数在第一象限内的图像，
由图像可知，交点的横坐标x₀落在1和2之间，从而得出这两个相邻的正整数为1与2。
（3）由函数图像或函数性质可知：当2＜x＜3时，
对y₁=x²+x-，y₁随着x增大而增大，
对y₂=（k＞0），y₂随着x的增大而减小。
因为A（x₀，y₀）为二次函数图像与反比例函数图像的交点，
所以当x₀=2时，由反比例函数图象在二次函数上方得y₂＞y₁，即，
解得K＞5，
同理，当x₀=3时，由二次函数数图象在反比例上方得y₁＞y₂，即，
解得K＜18，
所以K的取值范围为5＜K＜18。