Question

如图，设∠MON=20°，A为OM上一点，OA=4

3

，D为ON上一点，OD=8

3

，C为AM上任一点，B是OD上任意一点，那么折线ABCD的长最小为

 

．

Answer 1

分析：作A关于ON的对称点A′，D关于OM的对称点D′，将折线长度问题转化为两点之间线段最短的问题；然后判断出△OD′A′为直角三角形，利用勾股定理求出A′D′的长，即为折线的长．

解答：解：如图，作A关于ON的对称点A′，D关于OM的对称点D′，

连接A′B，CD′，则A′B=AB，
C′D=CD，从而AB+BC+CD=A′B+BC+CD′≥A′D′，
因为∠A′ON=∠MON=∠MOD′=20°，
所以∠A′OD′=60°，
又因为OA′=OA=4

3

，OD′=OD=8

3

，
所以OD′=2OA′，
即△OD′A′为直角三角形，且∠OA′D′=90°，
所以A′D′=

OD′2-OA′2

=

(8 3 )2-(4 3 )2

=12，
所以，折线ABCD的长的最小值是12．

点评：此题考查了轴对称---最短路径问题，此题要考虑两个点的对称点，将折线转化为线段的问题，并转化到直角三角形内利用勾股定理解答是解题的关键．