Question

11．如图，正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，O为AD边的中点，若把四边形ABCD绕着点O顺时针旋转，试解决下列问题：
（1）画出四边形ABCD旋转180°后的图形；
（2）求点C旋转过程中所经过的路径长；
（3）求sin∠BAD的值．

Answer 1

分析 （1）根据中心对称的性质画出点A、B、C、D关于点O中心对称的点A′、B′、C′、D′，从而得到四边形A′B′C′D′；
（2）点C旋转过程中所经过的路径为以点O为圆心，OC为半径，圆心角为180度的弧，然后根据弧长公式计算；
（3）先利用勾股定理计算出AB=$\sqrt{2}$，BD=3$\sqrt{2}$，AD=2$\sqrt{5}$，则根据勾股定理的逆定理可判断△ABD为直角三角形，∠ABD=90°，然后根据正弦的定义求解．

解答 解：（1）如图，四边形A′B′C′D′为所求；

（2）OC=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
所以点C旋转过程中所经过的路径长=$\frac{180•π•\sqrt{5}}{180}$=$\sqrt{5}$π；
（3）连结BD，如图，
∵AB=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，BD=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴AB²+BD²=AD²，
∴△ABD为直角三角形，∠ABD=90°，
∴sin∠BAD=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$

点评 本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了勾股定理的逆定理和解直角三角形．