题目内容
如图，矩形ABCD中，AB=6cm，AD=3cm，CE=2cm，动点P从A出发以每秒2cm的速度向终点B运动，同时动点Q也从点A出发以每秒1cm的速度向终点E运动．设运动的时间为t秒．解答下列问题：（1）当0＜t≤3时，以A、P、Q为顶点的三角形能与△ADE相似吗？（不必说理由）
（2）连接DQ，试求当t为何值时？△ADQ为等腰三角形．
（3）求t为何值时？直线PQ平分矩形ABCD的面积．
【答案】分析：（1）不能相似，因为相似时，只能∠AQP=90°，∠QPA=30°，而△ADE中的锐角不能为30°；
（2）分为三种情况：①当AD=AQ=3cm时，②当DA=DQ时，过D作DM⊥AE于M，③当QA=QD时，求出AQ长即可；
（3）连接AC，取AC中点O（即AO=OC），当直线PQ过O时，直线PQ平分矩形ABCD的面积，根据△ROC≌△POA，求出CR=AP=2t，得出RE=2t-2，EQ=5-t，根据△RQE∽△PQA得出
=
，代入求出即可．
解答：解：（1）不能相似；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴DC=AB=6cm，∠ADC=90°，
分为三种情况：①当AD=AQ=3cm时，此时t=3；
②当DA=DQ时，过D作DM⊥AE于M，
在Rt△ADE中，AD=3，DE=DC-CE=6cm-2cm=4cm，由勾股定理得：AE=5cm，
由三角形的面积公式得：S△ADE=
×AD×DE=
AE×DM，
∴DM=
cm，
在Rt△ADM中，由勾股定理得：AM=
=
（cm），
∵DM⊥AQ，AD=DQ，
∴AQ=2AM=
cm（三线合一定理），
即t=
；
③当QA=QD时，
过Q作QN⊥AD于N，
则AN=ND=
，
∵∠ADC=∠ANQ=90°
∴QN∥DC，
∵DN=AN，
∴EQ=AQ=
AE=
×5cm=
cm，
即t=
综合上述，当t为3秒或
秒或
秒时，△ADQ是等腰三角形．
（3）连接AC，取AC中点O（即AO=OC），当直线PQ过O时，直线PQ平分矩形ABCD的面积，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，
∴∠OCR=∠OAP，
∵在△ROC和△POA中，
，
∴△ROC≌△POA（ASA），
∴CR=AP=2t，
∵CE=2，
∴RE=2t-2，EQ=5-t，
∵DC∥AB，
∴△RQE∽△PQA，
∴
=
，
=
，
解得：t1=3，t2=0（舍去）．
即t=3秒时，直线PQ平分矩形ABCD的面积．
点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质，全等三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质，平行线的性质等知识点的综合运用，用了分类讨论思想和方程思想，难度偏大．
（2）分为三种情况：①当AD=AQ=3cm时，②当DA=DQ时，过D作DM⊥AE于M，③当QA=QD时，求出AQ长即可；
（3）连接AC，取AC中点O（即AO=OC），当直线PQ过O时，直线PQ平分矩形ABCD的面积，根据△ROC≌△POA，求出CR=AP=2t，得出RE=2t-2，EQ=5-t，根据△RQE∽△PQA得出
=，代入求出即可．解答：解：（1）不能相似；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴DC=AB=6cm，∠ADC=90°，
分为三种情况：①当AD=AQ=3cm时，此时t=3；
②当DA=DQ时，过D作DM⊥AE于M，
在Rt△ADE中，AD=3，DE=DC-CE=6cm-2cm=4cm，由勾股定理得：AE=5cm，
由三角形的面积公式得：S△ADE=
×AD×DE=AE×DM，∴DM=
cm，在Rt△ADM中，由勾股定理得：AM=
=（cm），∵DM⊥AQ，AD=DQ，
∴AQ=2AM=
cm（三线合一定理），即t=
； ③当QA=QD时，
过Q作QN⊥AD于N，
则AN=ND=
，∵∠ADC=∠ANQ=90°
∴QN∥DC，
∵DN=AN，
∴EQ=AQ=
AE=×5cm=cm，即t=
综合上述，当t为3秒或
秒或秒时，△ADQ是等腰三角形．（3）连接AC，取AC中点O（即AO=OC），当直线PQ过O时，直线PQ平分矩形ABCD的面积，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，
∴∠OCR=∠OAP，
∵在△ROC和△POA中，
，∴△ROC≌△POA（ASA），
∴CR=AP=2t，
∵CE=2，
∴RE=2t-2，EQ=5-t，
∵DC∥AB，
∴△RQE∽△PQA，
∴
=，=，解得：t1=3，t2=0（舍去）．
即t=3秒时，直线PQ平分矩形ABCD的面积．
点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质，全等三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质，平行线的性质等知识点的综合运用，用了分类讨论思想和方程思想，难度偏大．
练习册系列答案
相关题目
如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，M是BC的中点，DE⊥AM，E是垂足，则△ABM的面积为
如图，矩形ABCD中，AD=a，AB=b，要使BC边上至少存在一点P，使△ABP、△APD、△CDP两两相似，则a、b间的关系式一定满足（ ）A、a≥
| ||
| B、a≥b | ||
C、a≥
| ||
| D、a≥2b |
7、如图，矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，∠DAE=2∠BAE，则∠CAE=
（2008•怀柔区二模）已知如图，矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，E是边AD上一点，且BE=ED，P是对角线上任意一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F、G．则PF+PG的长为
（2002•西藏）已知：如图，矩形ABCD中，E、F是AB边上两点，且AF=BE，连结DE、CF得到梯形EFCD．