若将平行四边形纸片ABCD按如图1所示方式折叠.使点C与A重合.点D落到D′处.折痕为EF．这时很容易证得:△AEF是等腰三角形．(1)若将矩形纸片ABCD按上述方式折叠.如图2．试探究:重叠部分△AEF如果恰好是等边三角形.这时矩形ABCD的长.宽之比应是多少?证明你的结论,(2)如图3.沿EF折叠矩形ABCD.使B点落在AD边上的B′处,沿B′G折� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．若将平行四边形纸片ABCD按如图1所示方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF．这时很容易证得：△AEF是等腰三角形．
（1）若将矩形纸片ABCD按上述方式折叠，如图2．试探究：重叠部分△AEF如果恰好是等边三角形，这时矩形ABCD的长、宽之比应是多少？证明你的结论；
（2）如图3，沿EF折叠矩形ABCD，使B点落在AD边上的B′处；沿B′G折叠，使D点落在D′处，且B′D′过F点．四边形B′EFG是什么特殊四边形？证明你的结论．
（3）在图3中连接BB′，试判断并证明△BB′G的形状．

分析（1）矩形ABCD的长、宽之比应是$\sqrt{3}$．设BE=a，根据等边三角形的性质可得出∠EAF=60°，根据矩形的性质可得出∠BAD=∠ABE=90°，∠BAE=30°，再根据特殊角的三角函数值即可得出AE=2a，AB=$\sqrt{3}$a，结合边与边之间的关系即可得出$\frac{BC}{AB}$=$\sqrt{3}$；
（2）四边形B′EFG是平行四边形．根据矩形的性质可得出AD∥BC，从而得出相等的内错角“∠B′EF=∠BFE，∠EB′F=∠GFB′，∠DB′G=∠FGB”，再由翻折的性质可得出∠BFE=∠B′FE，∠DB′G=∠FB′G，由此即可得出∠B′FE=∠FB′G，从而找出B′E∥FG，由两组对边互相平行即可证出四边形B′EFG是平行四边形；
（3）△BB′G为直角三角形．连接BB′交EF于点M，根据平行线的性质可得出∠EB′B=∠FBB′，由翻折的性质可得出BF=B′F，从而可得出∠EB′B=∠FB′B，再由等腰三角形的性质可得出∠BMF=90°，根据平行线的性质即可得出∠BB′G=∠BMF=90°，由此即可证出△BB′G为直角三角形．

解答解：（1）矩形ABCD的长、宽之比应是$\sqrt{3}$．
证明：设BE=a，
∵△AEF等边三角形，
∴∠EAF=60°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=∠ABE=90°，∠BAE=∠BAD-∠EAF=30°．
在Rt△ABE中，∠ABE=90°，∠BAE=30°，BE=a，
∴AE=$\frac{BE}{sin∠BAE}$=2a，AB=$\frac{BE}{tan∠BAE}$=$\sqrt{3}$a，
∵AE=EC，
∴BC=BE+EC=3a，
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3a}{\sqrt{3}a}$=$\sqrt{3}$．
（2）四边形B′EFG是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠B′EF=∠BFE，∠EB′F=∠GFB′，∠DB′G=∠FGB′．
由翻折的特性可知：∠BFE=∠B′FE，∠DB′G=∠FB′G，
∴∠B′EF=∠B′FE，∠FB′G=∠FGB′，
又∵∠EB′F=∠GFB′，
∴∠B′FE=∠FB′G，
∴EF∥B′G，
又∵B′E∥FG，
∴四边形B′EFG是平行四边形．
（3）△BB′G为直角三角形．
证明：连接BB′交EF于点M，如图所示．

∵AD∥BC，
∴∠EB′B=∠FBB′，
∵BF=B′F，
∴∠FBB′=∠FB′B，
∴∠EB′B=∠FB′B．
∵∠B′EF=∠B′FE，
∴△B′EF为等腰三角形，
∴B′M⊥EF，
∴∠BMF=90°．
∵EF∥B′G，
∴∠BB′G=∠BMF=90°，
∴△BB′G为直角三角形．

点评本题考查了翻折变换、平行线的性质、平行四边形的判定定理、特殊角的三角函数值、矩形的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）求出$\frac{BC}{AB}$的值；（2）证出EF∥B′G；（3）证出∠BB′G=∠BMF=90°．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质找出相等的角是关键．