Question

如图，在平行四边形ABCD中，AD＝4 cm，∠A＝60°，BD⊥AD．一动点P从A出发，以每秒1 cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD．

(1)当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；

(2)当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1 cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2 cm的速度匀速运动．过Q作直线QN，使QN∥PM．设点Q运动的时间为t秒(0≤t≤10)，直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S cm²．

①求S关于t的函数关系式；

②(附加题)求S的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)当点P运动2秒时，AP＝2 cm，由∠A＝60°，知AE＝1，PE＝．　　　　1分 　　∴S△APE＝．　　　　2分 　　(2)①当0≤t≤6时，点P与点Q都在AB上运动，设PM与AD交于点G，QN与AD交于点F，则AQ＝t，AF＝，QF＝，AP＝t＋2，AG＝1＋，PG＝． 　　∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S＝．　　　　4分 　　当6≤t≤8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动．设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，则AQ＝t，AF＝，DF＝4－，QF＝，BP＝t－6，CP＝10－t，PG＝， 　　而BD＝，故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S＝．　　　　6分 　　当8≤t≤10时，点P和点Q都在BC上运动．设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，则CQ＝20－2t，QF＝(20－2t)，CP＝10－t，PG＝． 　　∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S＝．　　　　8分 　　故S关于t的函数关系式为 　　②(附加题)当0≤t≤6时，S的最大值为；　　　　1分 　　当6≤t≤8时，S的最大值为；　　　　2分 　　当8≤t≤10时，S的最大值为；　　　　3分 　　所以当t＝8时，S有最大值为．　　　　4分 　　(如正确作出函数图象并根据图象得出最大值，同样给4分)