Question

如图，△ABC中，BC=2AC，∠DBC=∠ACB=120°，BD=BC，CD交边AB于点E．
（1）求∠ACE的度数．
（2）求证：DE=3CE．

Answer 1

（1）解：∵BD=BC（已知），
∴∠D=∠BCD（等边对等角）．
又∵∠DBC=120°，∠D+∠BCD+∠DBC=180°（三角形内角和定理），
∴∠D=∠BCD=30°．
∵∠ACB=120°，∠ACB=∠ACE+∠BCD，
∴∠ACE=90°；

（2）证明：过点B作BM⊥DC于点M．
在Rt△BMC中，由∠BCD=30°，得BM=BC．
∵BC=2AC，
∴AC=BC，
∴BM=AC．
在△BME与△ACE中，
∵，
∴△BME≌△ACE（AAS），
∴ME=CE=MC．
∵BD=BC，BM⊥DC，
∴DM=MC，
∴ME=CE=DM，
∴DE=3CE．
分析：（1）利用等腰三角形BCD的性质、△DBC的内角和定理和图形中的角与角间的数量关系来求∠ACE的度数；
（2）过点B作BM⊥DC于点M．由全等三角形△BME与△ACE的对应边相等推知ME=CE=MC．然后根据等腰三角形“三合一”的性质证得DM=MC，最后由等量代换证得结论．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边、公共角以及对顶角，必要时添加适当辅助线构造三角形．