Question

已知AB是直径，弦PQ与AB不平行，R为PQ的中点，∠SRT=60°，PS⊥AB，TQ⊥AB，求

PQ

AB

的值．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：连接OP，OR，OQ，延长TQ，交SR的延长线与点M，延长QO交圆O于点N，连接PN，可证：P、R、O、S四点共圆，则PQ：AB=PQ：NQ，即可求解．

解答：解：如图，连接OP、QO、OR、延长QO交⊙O于N，延长SR交TQ延长线于M，连接PN，
∵PS⊥AB，TQ⊥AB，
∴PS∥QT，
∴∠M=∠PSR，

在△PRS和△QRM中，

∠M=∠PSR PR=QR ∠PRS=∠QRM

，
∴△PRS≌△QRM（AAS），
∴SR=RM，
又∵△MST为直角三角形，
∴SR=RT（直角三角形中斜边中线等于斜边一半），
∴SR=RT，
∵∠SRT=60°，
∴△SRT为正三角形，
∵R为PQ中点，
∴OR⊥PQ（垂径定理），
∴P、R、O、S四点共圆，
∴∠POR=∠PSR=30°，
同理，可证∠ROQ=∠RTQ=30°，
则∠POQ=60°，
∴PQ：AB=PQ：NQ=sin∠PNQ=sin30°=1：2，
即

PQ

AB

的值为

1

2

．

点评：本题主要考查了求线段的比，利用圆周角定理把线段的比转化为三角函数的问题求解，难度较大，关键是能将所学的知识融会贯通．