题目内容

已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，与x轴另一交点为D，与y轴交于点C．
（1）求抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的函数关系式；
（2）如图，连接AC，在抛物线上是否存在点P，使∠ACD+∠ACP=45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，
①点E在运动过程中四边形OEAF的面积是否发生变化，并说明理由；
②当EF分四边形OEAF的面积为1：2两部分时，求点E的坐标．
（1）∵抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，
∴
9a+3b+3=0
16a+4b+3=1
，
解得
a=
1
2
b=-
5
2
，
∴抛物线的关系式为y=
1
2
x2-
5
2
x+3；

（2）过点D作DF⊥AC于F，
令y=0，则
1
2
x2-
5
2
x+3=0，
整理得，x2-5x+6=0，
解得x1=2，x2=3，
∴点D坐标为（2，0），AD=1，
令x=0，则y=3，
∴点C坐标为（0，3），
∴OC=OA=3，
∴△OAC是等腰直角三角形，
∴AC=
OA2+OC2
=
32+32
=3
2
，
AF=DF=
2
2
×AD=
2
2
，
∴CF=AC-AF=3
2
-
2
2
=
5
2
2
，
∴
DF
CF
=
2
2
5
2
2
=
1
5
，
∵∠ACD+∠ACP=45°，
∴设G（15，0），
则
OC
OG
=
3
15
=
1
5
，
CG与抛物线的交点为点P，
设直线CG的解析式为y=kx+b，
则
b=3
15k+b=0
，
解得
k=-
1
5
b=3
，
∴y=-
1
5
x+3，
联立
y=-
1
5
x+3
y=
1
2
x2-
5
2
x+3
，
解得
x1=
23
5
y1=
52
25
，
x2=0
y2=3
（为点C坐标，舍去），
∴点P坐标为（
23
5
，
52
25
）；

（3）①∵A（3，0），B（4，1），
∴直线AB与x轴的夹角为45°，
∴∠OAF=45°，
∴∠OAF=∠OCE=45°，
∵四边形OEAF是圆内接四边形，
∴∠OEC=∠OFA，
在△OCE和△OAF中，
∠OAF=∠OCE=45°
∠OEC=∠OFA
OA=OC=3
，
∴△OCE≌△OAF（AAS），
∴S△OCE=S△OAF，
∴四边形OEAF的面积=△OAC的面积=
1
2
×3×3=
9
2
；

②∵EF分四边形OEAF的面积为1：2两部分，
∴△OEF的面积为：
9
2
×
1
1+2
=
3
2
或
9
2
×
2
1+2
=3，
∵OA=OC，∠AOC=90°，
∴△OEF是等腰直角三角形，
∴OE=OF，
∴
1
2
OE•OF=
1
2
OE2=
3
2
或3，
∴OE2=3或OE2=6，
易求直线AC的解析式为y=-x+3，
设出点E的坐标为（a，-a+3），
则OE2=a2+（-a+3）2=2a2-6a+9，
（i）OE2=3时，2a2-6a+9=3，
整理得，a2-3a+3=0，
△=（-3）2-4×1×3=-3＜0，
此时方程无解；
（ii）OE2=6时，2a2-6a+9=6，
整理得，2a2-6a+3=0，
解得a=
6±
12
2×2
=
3±
3
2
，
-a+3=-
3+
3
2
+3=
3-
3
2
，
或-a+3=-
3-
3
2
+3=
3+
3
2
，
∴点E（
3+
3
2
，
3-
3
2
）或（
3-
3
2
，
3+
3
2
）．
练习册系列答案
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已知：直线y=-2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，点C为x轴上一点，AC=1，且OC＜OA．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A、B、C．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点D的坐标为（-3，0），点P为线段AB上的一点，当锐角∠PDO的正切值是
1
2
时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，该抛物线上的一点E在x轴下方，当△ADE的面积等与四边形APCE的面积时，求点E的坐标．
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40
3
m，则水流落地点B离墙的距离OB是（　　）
A．2mB．3mC．4mD．5m
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（1）求二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在点P，满足S△AOP=8，请直接写出点P的坐标．
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3
，0），B（-
3
，0），以点A为圆心，AB为半径的圆与x轴相交于点B，C，与y轴相交于点D，E．
（1）若抛物线y=
1
3
x2+bx+c经过C，D两点，求抛物线的解析式，并判断点B是否在该抛物线上；
（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点P，使得△PBD的周长最小；
（3）设Q为（1）中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形BCQM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）．
（1）求A、B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
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（2）求抛物线与x轴的交点坐标；
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（1）求抛物线的解析式；
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