题目内容

已知数轴上两点A，B对应的数分别用a和b表示，且a，b满足|a+1|+（b-3）²=0，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．
（1）请直接写出求a和b的值；
（2）若点P到点A，点B的距离相等，请直接写出点P对应的数x；
（3）数轴上是否存在点P，使点P到点A，点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；
（4）当点P以每分钟1个单位长的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长的速度向左运动，点B以每分钟20个单位长的速度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P点到点A、点B的距离相等？

解：（1）∵|a+1|+（b-3）²=0，
∴a+1=0，b-3=0，
∴a=-1，b=3；

（2）∵点P到点A，点B的距离相等，A为-1，B为3，
∴x= $\text{[math]}$ =1；

（3）则x-3+x+1=6，
解得：x=4，
当P在A点左侧，则-1-x+3-x=6，
解得：x=-2，
故x=4或-2；

（4）①当B未追上A时，-x+1+5x=3-20x+x，
解得：x= $\text{[math]}$ ；
∴ $\text{[math]}$ 分钟时点P到点A、点B的距离相等．
②B追上A时，20x=5x+4，
解得：x= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ 分钟时点P到点A、点B的距离相等．
答：当经过 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 分钟时，点P到点A，点B的距离相等．
分析：（1）根据绝对值的性质以及偶次方的意义得出a，b的值；
（2）利用点P到点A，点B的距离相等，A为-1，B为3，即可得出P的位置；
（3）根据当P在B点右侧以及当P在A点左侧得出即可；
（4）根据当B未追上A时，②B追上A时，分别求出即可．
点评：此题主要考查了一元一次方程的应用，根据已知点运动速度得出以及距离之间的关系得出等式是解题关键．