已知:如图①在?ABCD中.AB=3cm.BC=5cm.AC⊥AB.△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM.速度为1cm/s,同时.点Q从点C出发.沿CB方向匀速运动.速度为1cm/s.当点P与点C重合时△PNM停止平移.点Q也停止运动．如图②设运动时间为t(s)．解答下列问题:(1)当t为4S时.点P与点C重合,(2)设△QMC的面积为y(cm2).求y与t之间的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．已知：如图①在?ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB，△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s，当点P与点C重合时△PNM停止平移，点Q也停止运动．如图②设运动时间为t（s）．解答下列问题：

（1）当t为4S时，点P与点C重合；
（2）设△QMC的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）利用勾股定理求出AC即可解决问题．
（2）如图②中，作PD⊥BC于点D，AE⊥BC于点E，先利用面积法求出AE、EC，利用△CPD∽△CAE，求出PD即可解决问题．
（3）由△MQP∽△PDQ，得到PQ²=PM×DQ，再结合勾股定理列出方程即可解决问题．

解答 28，解：（1）在如图①中，在RT△ABC中，∵∠BAC=90°，BC=5，AB=3，
∴AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=5$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴t=4时，点P与点C重合．
故答案为4
（2）如图②中，作PD⊥BC于点D，AE⊥BC于点E
由${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}AB×AC=\frac{1}{2}AE×BC$可得$AE=\frac{12}{5}$，则由勾股定理易求$CE=\frac{16}{5}$
因为PD⊥BC，AE⊥BC，
所以AE∥PD，
所以△CPD∽△CAE，
所以$\frac{CP}{CA}=\frac{CD}{CE}=\frac{PD}{AE}$，即$\frac{4-t}{4}$=$\frac{CD}{\frac{16}{5}}$=$\frac{PD}{\frac{12}{5}}$，
求得：$PD=\frac{12-3t}{5}$，CD=$\frac{16-4t}{5}$，
因为PM∥BC，
所以M到BC的距离$h=PD=\frac{12-3t}{5}$
所以△QCM是面积$y=\frac{1}{2}CQ×h=\frac{1}{2}×t×\frac{12-3t}{5}=-\frac{3}{10}{t^2}+\frac{6}{5}t$，
（3）若PQ⊥MQ，则∠MQP=∠PDQ=90°
因为MP∥BC，
所以∠MPQ=∠PQD，
所以△MQP∽△PDQ，
所以$\frac{PM}{PQ}$=$\frac{PQ}{DQ}$，
所以PQ²=PM×DQ，
即：PD²+DQ²=PM×DQ，由CD=$\frac{16-4t}{5}$，得DQ=CD-CQ=$\frac{16-9t}{5}$，
故${（\frac{12-3t}{5}）^2}+{（\frac{16-9t}{5}）^2}=5×\frac{16-9t}{5}$，整理得2t²-3t=0
解得t=$\frac{3}{2}$或0．
答：当t=$\frac{3}{2}$或0秒时，PQ⊥MQ．