Question

3．综合运用：
（1）已知a-$\frac{1}{a}$=$\sqrt{11}$，求a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$的值．
（2）已知a是4+$\sqrt{5}$的小数部分，b是-$\sqrt{5}$+5的小数部分，c是（-$\sqrt{3}$+2）^-1的整数部分，求a²c-b²c的值．

Answer 1

分析 （1）利用完全平方公式即可求解；
（2）首先估算出$\sqrt{5}$的范围，求出a、b的值，再根据负整数指数幂的意义得出c的值，然后代入计算即可．

解答 解：（1）∵a-$\frac{1}{a}$=$\sqrt{11}$，
∴（a-$\frac{1}{a}$）²=11，
∴a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$=13；

（2）∵2＜$\sqrt{5}$＜3，
∴a=$\sqrt{5}$-2．
∵-3＜-$\sqrt{5}$＜-2，
∴b=3-$\sqrt{5}$．
∵（-$\sqrt{3}$+2）^-1=$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$=2+$\sqrt{3}$，1＜$\sqrt{3}$＜2，
∴c=3，
∴a²c-b²c=c（a²-b²）
=c（a+b）（a-b）
=3×（$\sqrt{5}$-2+3-$\sqrt{5}$）（$\sqrt{5}$-2-3+$\sqrt{5}$）
=3×（2$\sqrt{5}$-5）
=6$\sqrt{5}$-15．

点评 本题考查了估算无理数的大小，完全平方公式，负整数指数幂的意义以及代数式求值，是基础知识，需熟练掌握．