Question

如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CD平分∠ACB，∠ACB=120°，求

CA+CB

CD

的值．

Answer 1

分析：首先连接AD、DB；作BE∥CD交AC延长线于E．由弦CD平分∠ACB，∠ACB=120°，可证得△BCE与△ABD是等边三角形，继而证得△ABE≌△DBC（SAS），则可得CD=AE=AC+CE=CA+CB，继而求得答案．

解答：解：连接AD、DB；作BE∥CD交AC延长线于E．
∵CD平分∠ACB，∠ACB=120°，
∴∠E=∠ACD=60°，∠ECB=60°，
∴△BEC为等边三角形，
∴BE=EC=CB，
∵∠ADB=180°-∠ACB=∠ECB=60°，AD=BD，
∴△ADB为等边三角形，
∴AD=DB=AB，
在△ABE与△DBC中，

AB=DB ∠BAE=∠BDC BE=BC

，
∴△ABE≌△DBC（SAS）
∴CD=AE=AC+CE=CA+CB，
∴

CA+CB

CD

=1．

点评：此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度较大，注意准确作出辅助线是解此题的关键．