Question

14．等腰三角形△ABC底角的余弦值是$\frac{2}{3}$，一边长为12，则等腰三角形的面积为32$\sqrt{5}$或18$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根据题意，分两种情况：（1）一条腰长为12时，根据等腰三角形△ABC底角的余弦值是$\frac{2}{3}$，以及等腰三角形的性质得到底和高，再根据三角形面积公式即可求解．（2底为12时，根据等腰三角形△ABC底角的余弦值是$\frac{2}{3}$，以及等腰三角形的性质得到高，再根据三角形面积公式即可求解．

解答 解：（1）一条腰长为12时，
∵等腰三角形△ABC底角的余弦值是$\frac{2}{3}$，
∴三角形的底=12×$\frac{2}{3}$×2=16，
∴三角形的高=$\sqrt{{12}^{2}{-（16÷2）}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴等腰三角形的面积=16×4$\sqrt{5}$÷2=32$\sqrt{5}$．

（2底为12时，
∵等腰三角形△ABC底角的余弦值是$\frac{2}{3}$，
∴三角形的高=12÷2÷$\frac{2}{3}$×$\sqrt{1{-（\frac{2}{3}）}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∴等腰三角形的面积=12×3$\sqrt{5}$÷2=18$\sqrt{5}$．
故答案为：32$\sqrt{5}$或18$\sqrt{5}$．

点评 此题主要考查了解直角三角形的方法和应用，以及等腰三角形的性质和应用，要熟练掌握，注意分两种情况讨论．