Question

【题目】如图，正方形ABCD边长为4，点O在对角线DB上运动（不与点B，D重合），连接OA，作OP⊥OA，交直线BC于点P．

（1）判断线段OA，OP的数量关系，并说明理由．

（2）当OD＝时，求CP的长．

（3）设线段DO，OP，PC，CD围成的图形面积为S1，△AOD的面积为S2，求S1﹣S2的最大值．

Answer 1

【答案】（1）OA＝OP，理由见解析；（2）PC＝2；（3）当x＝2时，S1﹣S2有最大值是4

【解析】

（1）证明四边形OGBH是正方形，得BG＝BH，∠GOH＝90°，再证明△AGO≌△PHO（ASA），则OA＝OP；

（2）如图2，作辅助线，证明△ODQ是等腰直角三角形，得OQ＝DQ＝1，证明△ADO≌△CDO（SAS），可得PC的长；

（3）如图3，作辅助线，构建三角形全等，设OH＝x，则DH＝x，CH＝OG＝4﹣x，PC＝2x，根据S△AOD＝S△COD，则S1﹣S2＝S△POC＝＝﹣x2+4x，配方后可得结论．

解：（1）OA＝OP，理由是：

如图1，过O作OG⊥AB于G，过O作OH⊥BC于H，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABO＝∠CBO，AB＝BC，

∴OG＝OH，

∵∠OGB＝∠GBH＝∠BHO＝90°，

∴四边形OGBH是正方形，

∴BG＝BH，∠GOH＝90°，

∵∠AOP＝∠GOH＝90°，

∴∠AOG＝∠POH，

∴△AGO≌△PHO（ASA），

∴OA＝OP；

（2）如图2，过O作OQ⊥CD于Q，过O作OH⊥BC于H，连接OC，

∴∠OQD＝90°，

∵∠ODQ＝45°，

∴△ODQ是等腰直角三角形，

∵OD＝，

∴OQ＝DQ＝1，

∵AD＝CD，∠ADO＝∠CDO，OD＝OD，

∴△ADO≌△CDO（SAS），

∴AO＝OC＝OP，

∵OH⊥PC，

∴PH＝CH＝OQ＝1，

∴PC＝2；

（3）如图3，连接OC，过O作OG⊥BC于G，OH⊥CD于H，

设OH＝x，则DH＝x，CH＝OG＝4﹣x，PC＝2x，

由（2）知：△AOD≌△COD，

∴S△AOD＝S△COD，

∴S1﹣S2＝S1﹣S△COD＝S△POC＝＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，

当x＝2时，S1﹣S2有最大值是4．