Question

如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为（4，0），B点坐标为（﹣1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P的正半轴交于点C．

（1）求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数解析式；

（2）设M为（1）中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数解析式；

（3）试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：

二次函数综合题；解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；勾股定理的逆定理；切线的判定．

专题：

计算题．

分析：

（1）求出半径，根据勾股定理求出C的坐标，设经过A、B、C三点抛物线解析式是y=a（x﹣4）（x+1），把C（0，2）代入求出a即可；

（2）求出M的坐标，设直线MC对应函数表达式是y=kx+b，把C（0，2），M（，）代入得到方程组，求出方程组的解即可；

（3）根据点的坐标和勾股定理分别求出PC、DC、PD的平方，根据勾股定理的逆定理得出∠PCD=90°，即可求出答案．

解答：

解：（1）∵A（4，0），B（﹣1，0），

∴AB=5，半径是PC=PB=PA=，

∴OP=﹣1=，

在△CPO中，由勾股定理得：OC==2，

∴C（0，2），

设经过A、B、C三点抛物线解析式是y=a（x﹣4）（x+1），

把C（0，2）代入得：2=a（0﹣4）（0+1），

∴a=﹣，

∴y=﹣（x﹣4）（x+1）=﹣x²+x+2，

答：经过A、B、C三点抛物线解析式是y=﹣x²+x+2．

（2）y=﹣x²+x+2=﹣+，

M（，），

设直线MC对应函数表达式是y=kx+b，

把C（0，2），M（，）代入得：，

解得：k=，b=2，

∴y=x+2，

y=x+2．

答：直线MC对应函数表达式是y=x+2．

（3）MC与⊙P的位置关系是相切．

证明：设直线MC交x轴于D，

当y=0时，0=x+2，

∴x=﹣，OD=，

∴D（﹣，0），

在△COD中，由勾股定理得：CD²=2²+==，

PC²===，

PD²==，

∴CD²+PC²=PD²，

∴∠PCD=90°，

∴PC⊥DC，

∵PC为半径，

∴MC与⊙P的位置关系是相切．

本题主要考查对用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理及勾股定理的逆定理，解二元一次方程组，二次函数的最值，切线的判定等知识点的连接和掌握，能综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．