Question

如图，△ABC中，CD垂直AB于D，一定能确定△ABC为直角三角形的条件的个数是（　　）
①∠1=∠A，②∠B+∠2=90°，③BC：AC：AB=3：4：5，④AC•CD=BC•AD．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：由CD垂直AB于D，由等量代换的知识，易得由①∠1=∠A，可判定△ABC为直角三角形；由②∠B+∠2=90°，可得△ABC为等腰三角形；由勾股定理的逆定理，由BC：AC：AB=3：4：5，可判定△ABC为直角三角形；由相似三角的判定与性质，由AC•CD=BC•AD，可判定△ABC为直角三角形．

解答：解：∵CD⊥AB，
∴∠1+∠B=90°，
若∠1=∠A，
则∠A+∠B=90°，
∴∠ACB=90°，
即△ABC为直角三角形；
故①正确；
若∠B+∠2=90°，
则∠1=∠2，
∴∠A=∠B，
∴AC=BC，
即△ABC是等腰三角形，不能判定△ABC为直角三角形，
故②错误；
若BC：AC：AB=3：4：5，则AB²=AC²+BC²，
则△ABC为直角三角形，
故③正确；
若AC•CD=BC•AD，即

AC

BC

=

AD

CD

，
∵∠ADC=∠BDC=90°，
∴△ADC∽△CDB，
∴∠A=∠1，
∴∠A+∠B=90°，
即△ABC为直角三角形；
故④正确．
故选C．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定以及直角三角形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．