Question

已知：如图，直角△ABC中，∠ABC=90°，将△ABC绕着顶点C按顺时针方向旋转角度α（0＜α＜180°）  得到△A′B′C，连接AA′，BB′，射线 BB′交AC于点M，交AA′于点N
（1）若AC=6

3

，α=2∠BAC，求线段BM的长
（2）求证：△AMN∽△BMC
（3）若3AN=4B′C，sin∠BAC=

1

4

，请你确定旋转角α的度数（精确到1°）

Answer 1

分析：（1）首先根据旋转的性质得到CB=CB'，然后根据等腰三角形的性质得到∠CBB′=∠CB′B=

180-α

2

=90-

α

2

，
而∠BAC=

α

2

，∠ABC=90°，由此得到∠BCM=90°-

α

2

，接着得到∠CBB'=∠BCM，所以BM=CM，又∵∠BAC=∠ABM，所以有AM=BM，∴这样BM是Rt△ABC斜边上的中线，由此即可求出BM的长度；
（2）首先由（1）得到∠CBB′=∠CB′B=

180-α

2

=90-

α

2

，而∠CAA′=90-

α

2

，所以∠CAA'=∠CBB'，又∠AMN=∠BMC，然后利用相似三角形的判定定理即可证明△AMN∽△BMC；
（3）根据相似三角形的性质可以得到

AM

BM

=

AN

BC

=

AN

B′C

=

4

3

，过点M画MH⊥AB于H，而sin∠BAC=

1

4

，由此得到MH=

1

4

AM，在Rt△BHM中，sin∠MBH=

1

4

AM÷

3

4

AM=

1

3

，由此即可确定旋转角α的度数．

解答：解：（1）∵CB=CB'，
∴∠CBB′=∠CB′B=

180-α

2

=90-

α

2

．
∵∠BAC=

α

2

，∠ABC=90°，
∴∠BCM=90°-

α

2

．
∴∠CBB'=∠BCM．
∴BM=CM．
又∵∠BAC=∠ABM，
∴AM=BM．（2分）
∴BM是Rt△ABC斜边上的中线，
∴BM=

1

2

AC=3

3

．（3分）

（2）∵CB=CB'，
∴∠CBB′=∠CB′B=

180-α

2

=90-

α

2

．
同理∠CAA′=90-

α

2

，
∴∠CAA'=∠CBB'．（5分）
又∠AMN=∠BMC，
∴△AMN∽△BMC．（6分）

（3）∵△AMN∽△BMC．
∴

AM

BM

=

AN

BC

=

AN

B′C

=

4

3

．（7分）
过点M画MH⊥AB于H，
∵sin∠BAC=

1

4

，
∴MH=

1

4

AM．
在Rt△BHM中，sin∠MBH=

1

4

AM÷

3

4

AM=

1

3

．（8分）
∴∠ABM=19.5°．
∴∠CBB'=∠CB'B=90°-19.5°=70.5°，
∴α=180°-70.5×2=39°．（10分）

点评：此题分别考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线的性质及三角函数的定义，综合性比较强，要求学生对于这些基础知识必须熟练掌握才能很好解决问题．