Question

【题目】如图，直线与轴交于点A，与轴交于点B，抛物线经过原点和点C（4,0），顶点D在直线AB上。

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以P、C、D为顶点的三角形与△ACD相似。若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）点Q是轴上方的抛物线上的一个动点，若，⊙M经过点O，C，Q，求过C点且与⊙M相切的直线解析式

Answer 1

【答案】（1）；（2）点；（3）.

【解析】试题分析： 先求出点的坐标，把点的坐标代入抛物线即可求出抛物线的解析式.

分两种情况进行讨论.

在中，用余弦得到设 根据勾股定理求出的值，求出点的坐标，根据待定系数法求出直线的解析式.

试题解析：

（1）由题知：D点的横坐标为2，

∴，

把代入抛物线： 解之得：

∴抛物线的解析式为：

（2）存在点

设对称轴与轴交于点,

易知：

情况1： 点在点上方，则

若 则

∴ 解得： ,

∴.

若则

解得：

∴ .

情况2：若P在D点的下方，则没有一个角会为

∴与不可能相似

综上可知：存在点

（3）、设与轴交于点,连NC交抛物线对称轴于一点，即为圆心M点,

在中，

设

则： 解得：

∴点坐标为（0,8），

设过点且与相切的直线为

则 ,把点代入有： ，解得:

∴过点且与相切的直线为 .