Question

已知二次函数y=ax²-5ax+b（a≠0）与x轴有两个交点A（x₁，0）、B（x₂，0），与y轴交于点C，其中0＜x₁＜x₂，线段AB的长为3，O为坐标系原点，且有tan∠OAC=2，tan∠OBC=，求此二次函数解析式．

Answer 1

解：当x=0时，y=b．
∴C点坐标为（0，b），OC=|b|．
又∵A（x₁，0）B（x₂，0）0＜x₁＜x₂．
∴OA=x₁，OB=x₂；
tan∠OAC===2，∴x₁=；
tan∠OBC===，∴x₂=2|b|．
∴x₂-x₁=2|b|-==AB=3，
∴|b|=2，b=±2．
∵抛物线y=ax²-5ax+b（a≠0）与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0），且0＜x₁＜x₂；
∴x₁+x₂=5，x₁•x₂=，
∴（x₂-x₁）²=（x₂+x₁）²-4x₁x₂=25-=9，
∴a=，
∴当b=2时，a=，当b=-2时，a=-，
∴所求的抛物线的解析式为y=x²-x+2或y=-x²+ax-2，经检验知上述两条抛物线均符合题意．
分析：根据∠OAC和∠OBC的正切值，可用|b|表示出OB，OA的长，即x₂，x₁的值，根据AB=3，可求出|b|的值．
令y=0，可得出一个关于x的一元二次方程，根据韦达定理和AB=3即可求出a的值．由此可得出二次函数的解析式．
点评：本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系以及一元二次方程根与系数的关系．