Question

已知abc≠0，k=

a+b-c

c

=

a-b+c

b

=

b+c-a

a

，一次函数y=kx+k²-2k+2图象上两点为P₁（x_l，y₁），P₂ （x₂，y₂）且|x₁-x₂|=2，则|P₁P₂|=

 

．

Answer 1

分析：根据比例的性质求得k值，然后将其代入一次函数的解析式求得该函数的解析式；最后由一次函数图象上点的坐标特征，求得|y₁-y₂|=2后，利用两点间的距离公式来求|P₁P₂|的值．

解答：解：∵k=

a+b-c

c

=

a-b+c

b

=

b+c-a

a

，
∴a+b-c=kc，①
a-b+c=kb，②
b+c-a=ka，③
由①+②+③，得
（a+b+c）=k（a+b+c），
（1）当a+b+c≠0，时，k=1；
∴y=kx+k²-2k+2=x+1，即y=x+1；
又∵一次函数y=kx+k²-2k+2图象上两点为P₁（x_l，y₁），P₂ （x₂，y₂）且|x₁-x₂|=2，
∴|y₁-y₂|=2，
∴|P₁P₂|=

(x1-x2) 2+(y1-y2)2

=

4+4

=2

2

；

（2）当a+b+c=0时，a+b=-c，
则由①式，得
-2c=kc，
∵abc≠0，
∴c≠0，
∴k=-2；
y=kx+k²-2k+2=-2x+10，即y=-2x+10；
又∵一次函数y=kx+k²-2k+2图象上两点为P₁（x_l，y₁），P₂ （x₂，y₂）且|x₁-x₂|=2，
∴|y₁-y₂|=4，
∴|P₁P₂|=

(x1-x2) 2+(y1-y2)2

=

4+16

=2

5

．
故答案是：2

2

或2

5

．

点评：本题考查了比例的性质、一次函数图象上点的坐标特征．记得在求k值时要分类讨论，以防漏解．