Question

5．如图①，正方形AEFG的边长为1，正方形ABCD的边长为3，且点F在AD上．
（1）求S_△DBF；
（2）把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的S_△DBF；
（3）把正方形AEFG绕点A旋转一周，在旋转的过程中，S_△DBF存在最大值与最小值，请直接写出最大值$\frac{15}{2}$，最小值$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）首先求出AF和BD的长，进而求出DF的长，利用三角形面积公式即可得到答案；
（2）连接AF，判断出△DFB与△ABD同底等高，求出△ABD的面积即可；
（3）F点的轨迹是以点A为圆心，AF为半径的圆，进而作出图形，故当F点到BD的距离取得最大、最小值时，S_△BFD取得最大、最小值，结合图形求出最大值和最小值．

解答 解：（1）∵正方形ABCD的边长为3，
∴BD=3$\sqrt{2}$，
∵正方形AEFG的边长为1，点F在AD上，
∴AF=$\sqrt{2}$，
∴DF=3-$\sqrt{2}$，
∴S_△DBF=$\frac{1}{2}$×DF×AB=$\frac{1}{2}$×（3-$\sqrt{2}$）×3=$\frac{9}{2}$-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

（2）连接AF，
∵AF是正方形AEFG的对角线，
BD是正方形ABCD的对角线，
∴AF∥BD，
∴△DFB与△ABD同底等高，
∴${S_{△DBF}}={S_{△ABD}}=\frac{9}{2}$．

（3）正方形AEFG在绕A点旋转的过程中，
F点的轨迹是以点A为圆心，AF为半径的圆，
因为△BFD的边BD=3$\sqrt{2}$，
故当F点到BD的距离取得最大、最小值时，S_△BFD取得最大、最小值．
如图②当F点位于F₁点时，S_△BFD的最大值，最大值为$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{2}$+$\frac{3}{2}\sqrt{2}$）×3$\sqrt{2}$=$\frac{15}{2}$，
当F点位于F₂点时，S_△BFD取得最小值，最小值为$\frac{1}{2}$×（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-$\sqrt{2}$）×3$\sqrt{2}$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了几何变换综合题的知识，涉及到旋转的性质、勾股定理及正方形的性质等中山市，解答本题要充分利用正方形的特殊性质，注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，解答第（3）问需要作出图形，数形结合很容易解决问题．