Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于点（-2，0）、（x₁，0），且1＜x₁＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方．下列结论：①b＞0；②a+b+c＜0；③4a-2b+c=0；④2a-b＜0；⑤2a+c＞0．其中正确结论的个数是

 

个．

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：

分析：本题依据二次函数图象的画法画出大致图象，进一步利用方程根与系数的关系等知识和数形结合能力仔细分析即可解．

解答：解：如图：

①由图象开口向下知a＜0，
由y=ax²+bx+c与X轴的另一个交点坐标为（x₁，0 ），且1＜x₁＜2，
则该抛物线的对称轴为x=-

b

2a

=

-2+x1

2

＞-

1

2

，即

b

a

＜1，
由a＜0，两边都乘以a得：b＞a，
∵a＜0，对称轴x=-

b

2a

＜0，
∴b＜0；
此项错误；
②因为1＜x₁＜2，
当x=1时，对应图象上的点在x轴上方，所以a+b+c＞0；
所以此项错误；
③由y=ax²+bx+c
与X轴的交点坐标为（-2，0）得：
a×（-2）²+b×（-2 ）+c=0，即4a-2b+c=0，
所以正确；
④由4a-2b+c=0得2a-b=-

c

2

，而0＜c＜2，∴＜2a-b＜0，所以结论正确．
⑤由一元二次方程根与系数的关系知x₁x₂=

c

a

＜-2，结合a＜0得2a+c＞0，所以结论正确；
故填正确结论的个数是3个．
故答案为：3．

点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，根的判别式的熟练运用．