Question

在直角坐标系中，有以A（-1，-1），B（1，-1），C（1，1），D（-1，1）为顶点的正方形，设正方形在直线y=x上方及直线y=-x+2a上方部分的面积为S．
（1）求a=

1

2

时，S的值．
（2）当a在实数范围内变化时，求S关于a的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）由已知条件和题意，要求面积S的值，只要把三角形三个顶点坐标求出来问题就解决了；
（2）由题意知直线y=x是定的，而y=-x+2a是动的且平行于y=-x移动，此时面积S也是动的，从而要分类讨论，求出每种情况的面积表达式，根据几何关系及三角形顶点坐标易求S关于a的表达式．

解答：解：（1）当a=

1

2

时，如图1
直线y=x与y=-x+1的交点是E(

1

2

，

1

2

)，
∴S=

1

2

×1×

1

2

=

1

4

．  （2分）

（2）①当a＜-1时，如图2，△ADC的面积就是S．
∴S=

1

2

×2×2=2．  （3分）

②当-1≤a＜0时，如图3，直线y=x与y=-x+2a的交点是E（a，a），
∴EG=（1-|a|）=1+a AF=2（1+a），
∴S=S_△ADC-S_△AEF=2-

1

2

（1+a）×2（1+a）=2-（1+a）²．（6分）

③当0≤a＜1时，如图4，
直线y=x与y=-x+2a的交点是E（a，a），
∴EG=1-a，CF=2（1-a），
∴S=S_△CEF=

1

2

（1-a）×2（1-a）=（1-a）²（9分）

④当a≥1时，如图5，S=0．  （11分）
∴S关于a的函数关系式为S=

2 (a＜-1) 2-(1+a)2 (-1≤a＜0) (1-a)2 (0≤a＜1) 0 (a≥1)

．（12分）

点评：此题看似复杂其实很简单，主要考查一次函数的性质及三角形的面积公式，还考查了直线的平移和分类讨论的思想．