题目内容

在直角坐标系中，有以A（-1，-1），B（1，-1），C（1，1），D（-1，1）为顶点的正方形，设正方形在直线y₁=x上方及直线y₂=-x+2a上方部分的面积为S，
（1）当a= $数学公式$ 时，求S的值；
（2）当a=0时，将两直线绕着原点O顺时针旋转20°，求S的值；
（3）a在实数范围内变化时，求S关于a的函数关系式．

解：（1）当a= $\text{[math]}$ 时，y₂=-x+1，
如图1．
直线y₁=x与直线y₂=-x+1的交点是E（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
S= $\text{[math]}$ ×1× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；

（2）当a=0时，y₂=-x，
S= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；

（3）①当a＜-1时，如图2，
△ADC的面积是S，
S= $\text{[math]}$ ×2×2=2；

②当-1≤a＜0时，如图3，
直线y=x与y=-x+2a的交点是E（a，a），
EG=（1-|a|）=1+a，
AF=2（1+a），
S=S_△ADC-S_△AEF
=2- $\text{[math]}$ （1+a）×2（1+a）

=2-（1+a）²；
③当0≤a＜1时，如图4，
直线y=x与y=-x+2a的交点是E（a，a），
EG=1-a，
CF=2（1-a），

S=S_△CEF= $\text{[math]}$ （1-a）×2（1-a）=（1-a）²；
④当a≥1时，如图5，S=0．
∴S关于a的函数关系式为：
①当a＜-1时，S=2；②当-1≤a＜0时，S=2-（1+a）²；③当0≤a＜1时，S=（1-a）²；④当a≥1时，S=0．
分析：（1）当a= $\text{[math]}$ 时，可得y₂=-x+1，再根据三角形面积公式即可求解；
（2）根据旋转的性质可知S的值等于大正方形面积的 $\text{[math]}$ ；
（3）分①当a＜-1时；②当-1≤a＜0时；③当0≤a＜1时；④当a≥1时；四种情况讨论可求S关于a的函数关系式．
点评：本题考查了一次函数综合题，涉及的知识点有：图形的面积计算，旋转的性质，分类思想的运用，难度中等．