Question

【题目】已知，AB为⊙O的直径，弦BC、AF相交于点E，过点E作ED⊥AB，∠AEC＝∠BED．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，当∠BAF＝45°时，OC交AF于点H，作FG⊥BH于点Q，交AB于点G，连接GH，求证：∠AGH＝∠BGF；

（3）如图3，在（2）的条件下，射线HG与⊙O交于点P，过点P作PK⊥BH交AB于点M，垂足为点K，点N为BH的中点，MN＝，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）6．

【解析】

（1）如图1，连接BF，证△BDE≌△BFE，推出∠ABC＝∠FBC，根据圆周角定理，即可得出结论；

（2）如图2，连接OF、BF，作AS⊥AF于点A，交FG的延长线于点S，证△FSA≌△BHF，再证△SAG≌△HAG，可得∠SGA＝∠AGH，即可得出结论；

（3）如图3，过点O作OR⊥HP于点R，OT⊥BH于点T，连接BP分别证△ORH≌△OTH和△ORP≌△OTB，推出PH＝BH，设∠OPR＝∠OBT＝α，推出PO⊥BO，∠OPB＝∠OBP＝45°，PG＝PM，OG＝OM，过点M作ML⊥BP于点L，求出tan∠PML＝tan∠PBH＝2，设BM＝4a，则BL＝ML＝2a，结合N为BH的中点，GH＝2MN＝，过点G作GU⊥OH于点U，在Rt△GUH中，可求出GU＝，即可求出a的值，可进一步求出OB的长．

（1）如图1，连接BF，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠AFB＝90°，

∵∠AEC＝∠BED，∠AEC＝∠BEF，

∴∠BEF＝∠BED，

∵ED⊥AB，

∴∠BDE＝∠AFB＝90°，

又∵BE＝BE，

∴△BDE≌△BFE（AAS），

∴∠ABC＝∠FBC，

∴；

（2）如图2，连接OF、BF，作AS⊥AF于点A，交FG的延长线于点S，

∵，

∴∠AOC＝∠FOC，

∵AO＝OF，

∴OC⊥AF，

∴AH＝HF＝AF，

∵∠BAF＝45°，∠AFB=90°

∴AF＝BF，

∵FG⊥BH，AS⊥AF，

∴∠S＝∠BHF，

又∵∠SAF＝∠HFB＝90°，

∴△FSA≌△BHF（AAS），

∴AS＝HF＝AH，

∵∠SAG＝∠GAH＝45°，AG＝AG，

∴△SAG≌△HAG（SAS），

∴∠SGA＝∠AGH，

∴∠AGH＝∠BGF；

（3）如图3，过点O作OR⊥HP于点R，OT⊥BH于点T，连接BP，

∵△SAG≌△HAG，

∴∠AHG＝∠S＝∠BHF，

∵OH⊥AF，

∴∠OHG＝∠OHB，

∵∠ORH＝∠OTH＝90°，OH＝OH，

∴△ORH≌△OTH（AAS），

∴RH＝TH，OR＝OT，

又∵OP＝OB，∠ORP＝∠OTB＝90°，

∴Rt△ORP≌Rt△OTB（HL），

∴PR＝BT，

∴PR+RH＝BT+TH，

即PH＝BH，

∴∠HPB＝∠HBP，

设∠OPR＝∠OBT＝α，

∵∠AOH＝∠A＝45°，

∴∠PHO＝∠BHO＝∠AOH﹣∠OBH＝45°﹣α，

∴∠PHB＝90°﹣2α，

∴∠HPB＝∠HBP＝45°+α，

∴∠PBO＝45°，

∵PO＝BO，

∴∠OPB＝∠OBP＝45°，

∴PO⊥AB，

∵PK⊥BH，GF⊥BH，

∴PK∥GF，

∴∠PMG＝∠BGF，

∵∠PGM＝∠AGH＝∠BGF，

∴∠PGM＝∠PMG，

∴PG＝PM，

∴OG＝OM，

过点M作ML⊥BP于点L，

∵∠PBH＝∠BHF＝45°+α，

∴tan∠PBH＝tan∠BHF＝＝2，

∵∠MPL＝∠BPK，

∴∠PML＝∠PBH，

∴tan∠PML＝tan∠PBH＝2，

设BM＝4a，则BL＝ML＝2a，

∴PL＝4a，

∴PB＝6a，

∴PO＝BO＝6a，

∴OM＝OG＝2a，

∴GM＝4a，

∴GM＝BM，

∵N为BH的中点，

∴MN为BGH的中位线，

∴GH＝2MN＝，

过点G作GU⊥OH于点U，

则tan∠GHO＝tan∠OHB＝tan∠FBH＝，

在Rt△GUH中，设GU＝b，则UH＝2b，GH＝b，

∴b=，

∴GU＝，

∴GO＝2＝2a，

∴a＝1，

∴OB＝6a＝6，

即⊙O的半径为6．