Question

如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC．

（1）求证：AC是⊙O的切线：

（2）若BF=8，DF=，求⊙O的半径r．

Answer 1

考点：

切线的判定．

分析：

（1）连接OA、OD，求出∠D+∠OFD=90°，推出∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，求出∠OAD+∠CAF=90°，根据切线的判定推出即可；

（2）OD=r，OF=8﹣r，在Rt△DOF中根据勾股定理得出方程r²+（8﹣r）²=（）²，求出即可．

解答：

（1）证明：

连接OA、OD，

∵D为弧BE的中点，

∴OD⊥BC，

∠DOF=90°，

∴∠D+∠OFD=90°，

∵AC=AF，OA=OD，

∴∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，

∵∠CFA=∠OFD，

∴∠OAD+∠CAF=90°，

∴OA⊥AC，

∵OA为半径，

∴AC是⊙O切线；

（2）解：∵⊙O半径是r，

当F在半径OE上时，

∴OD=r，OF=8﹣r，

在Rt△DOF中，r²+（8﹣r）²=（）²，

r=，r=（舍去）；

当F在半径OB上时，

∴OD=r，OF=r﹣8，

在Rt△DOF中，r²+（r﹣8）²=（）²，

r=，r=（舍去）；

即⊙O的半径r为．

点评：

本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生的推理和计算的能力．