题目内容
12、如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧作三个等边△ABD、△BEC、△ACF．（1）判断四边形ADEF的形状，并证明你的结论；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？是矩形？
分析：（1）由题意易得△BDE≌△BAC，∴DE=AC=AF，同理可证，EF=AB=AD，∴ADEF为平行四边形；
（2）AB=AC时，可得ADEF的邻边相等，所以ADEF为菱形，AEDF要是矩形，则∠DEF=90°，由∠DEF═∠BED+∠BEC+∠CEF，可推出∠BAC=150°时为矩形．
（2）AB=AC时，可得ADEF的邻边相等，所以ADEF为菱形，AEDF要是矩形，则∠DEF=90°，由∠DEF═∠BED+∠BEC+∠CEF，可推出∠BAC=150°时为矩形．
解答：解：（1）ADEF为平行四边形
?BD=AB，BE=BC；
∠DBA=∠EBC=60°?∠DBA-∠EBA=∠EBC-∠EBA
?∠DBE=∠ABC；
?△BDE≌△BAC
?DE=AC=AF
同理可证：△ECF≌△BCA
?EF=AB=AD
?ADEF为平行四边形
（2）AB=AC时为菱形，∠BAC=150°时为矩形．
∵AB=AC，
∴AD=AF．
∴ADEF是菱形．
∴∠DEF=90°
=∠BED+∠BEC+∠CEF
=∠BCA+60°+∠CBA
=180-∠BAC+60°
=240°-∠BAC
∴∠BAC=150°
?BD=AB，BE=BC；
∠DBA=∠EBC=60°?∠DBA-∠EBA=∠EBC-∠EBA
?∠DBE=∠ABC；
?△BDE≌△BAC
?DE=AC=AF
同理可证：△ECF≌△BCA
?EF=AB=AD
?ADEF为平行四边形
（2）AB=AC时为菱形，∠BAC=150°时为矩形．
∵AB=AC，
∴AD=AF．
∴ADEF是菱形．
∴∠DEF=90°
=∠BED+∠BEC+∠CEF
=∠BCA+60°+∠CBA
=180-∠BAC+60°
=240°-∠BAC
∴∠BAC=150°
点评：此题主要考查平行四边形、矩形、菱形的判定．
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