Question

下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．问当水面下降1 m时，水面宽度增加多少？

Answer 1

答案：
解析：

分析：解决本题的关键是将实际问题转化为二次函数的问题，将已知量转化成平面直角坐标系中有关点的坐标，即在实际问题中建立二次函数的模型，并根据图象特征设出相应的函数关系式解决问题． 　　解：(方法一)根据题意，以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系(如图所示)： 　　由于该抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，所以设这条抛物线的函数关系式为y＝ax2． 　　由图知，该抛物线经过点(2，－2)， 　　所以－2＝4a， 　　解得a＝－． 　　所以该抛物线的函数关系式为y＝－x2． 　　当水面下降1 m时，水面与抛物线交点的纵坐标为－3． 　　当y＝－3时，－3＝－x2． 　　解得x＝±． 　　所以此时水面的宽度为2m． 　　所以水面下降1 m时，水面宽度增加了(2－4)m． 　　(方法二)根据题意，以l所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系(如图所示)： 　　由于抛物线的顶点为(0，2)， 　　所以设这条抛物线的函数关系式为y＝ax2＋2． 　　由图知，该抛物线经过点(2，0)， 　　所以0＝4a＋2， 　　解得a＝－． 　　所以该抛物线的函数关系式为y＝－x2＋2． 　　当水面下降1 m时，水面与抛物线交点的纵坐标为－1． 　　当y＝－1时，－1＝－x2＋2． 　　解得x＝±． 　　所以此时水面的宽度为2m． 　　所以水面下降1 m时，水面宽度增加了(2－4)m． 　　(方法三)本题还可以通过建立如图所示的平面直角坐标系来解决．同学们，你能根据题意利用下图解决本题吗？相信你一定行！ 　　点评：在建立坐标系时，我们通常都是找几个特殊位置，如使图象经过原点、以对称轴为y轴等，这样可以使抛物线的函数关系式较为简单一些，减少运算量．